El Jefe
Páginas: 7 (1722 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2011
MATEMÁTICAS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
César Flores S. Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción
Una de las principales características de la actividad matemática es la resolución de problemas, sin embargo, se detectan serias deficiencias de formación en los escolares de nuestra Octava región al respecto, las que les pasan la cuenta alingresar a la educación superior. La abrumadora mayoría de los escolares no tiene desarrollada la capacidad de distinguir soluciones completas de argumentos parciales, y dudan de sus propias respuestas a problemas en los que no se les indica, por parte de alguna autoridad, el camino correcto. Se puede ilustrar fácilmente esta situación con un problema bastante simple. Ejemplo 1. ¿Existen cuadradosmágicos para la suma de orden 2x2? Primero, recordar que un cuadrado mágico para la suma debe llenarse con números de manera que la suma de sus filas, columnas y diagonales sea siempre la misma. Además, no debe tener la misma cifra en todos los casilleros, de manera que 2 2 2 2 3.41 3.41 3.41 3.41
no valen como cuadrados mágicos. Cabe notar que el problema planteado tiene la ventaja que no serequiere mayor conocimiento para ser comprensión. Enfrentados a este problema, de acuerdo a la experiencia del autor, luego de un tiempo más o menos prudente, el escolar comienza a sospechar que existe “algún truco” y otros afirman que “no se puede”. Al serles planteada la pregunta natural “¿Porqué no se puede?”, la mayoría responde con argumentos ambiguos que se reducen a “No se puede porque no puedoencontrar ninguno por más que lo intente”. Lo preocupante es que al serles confirmado el hecho que efectivamente no se puede, no expresan mayor interés en saber por qué efectivamente es imposible y se conforman rápidamente con la autoridad docente. En efecto, el autor ha observado cómo, después de decir que era imposible, se les dice que es posible y nuevamente comienzan a tratar de encontrar elcuadrado, después se les dice que es imposible, luego nuevamente que es posible y así sucesivamente. En esta situación de incertidumbre, se les expone la solución al problema. Solución al Ejemplo 1. Supongamos que existen cantidades a,b,c,d tales que a b c d
es un cuadrado mágico para la suma. Luego, debe tenerse a+b = a+c, de donde b=c. Pero también b+d = c+d, de donde b=c. Es decir, a=b=c,quedando a a a d Pero también debe tenerse a+d = a+a de donde d=a, es decir, la única posibilidad es que todas las cantidades sean iguales, lo que no es una solución válida. Al serles expuesta esta solución a los estudiantes (se ha trabajado con grupos de Primero a Cuarto Medio), comprenden inmediatamente el argumento y logran captar la diferencia entre esta solución completa y sus anterioresafirmaciones sin base. Ejemplo 2. Para n=0,1,2,3…, la expresión ¿Es siempre un número primo? Podemos tratar de hacernos una idea en este problema probando con algunos valores. Se tiene • F(0) = 41 es primo • F(1) = 43 es primo • F(2) = 47 es primo • F(3) = 53 es primo • F(4) = 61 es primo • F(5) = 71 es primo ¿Es necesario verificar más y más, sabiendo que existen infinitos números? Tarde o temprano, seemite el siguiente juicio “Al ir reemplazando se ve claramente que siempre se obtendrá un número primo”. Esta respuesta es claramente insatisfactoria, pues el hecho que una propiedad se cumpla para algunos valores no significa que se cumpla para “todo” valor. En efecto, la respuesta no sólo es incompleta, sino que también errónea y la expresión no siempre da un número primo. Basta probar conEste valor no es primo, pues es divisible por 41. Este ejemplo también ilustra que las respuestas completas no tienen porqué ser complicadas, sólo deben ser concluyentes y desprovistas de afirmaciones dudosas.
La actividad más importante de las matemáticas no es hacer cálculos ni memorizar teoremas, sino que hacer demostraciones. Es decir, dar justificaciones completas a los distintos...
César Flores S. Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción
Una de las principales características de la actividad matemática es la resolución de problemas, sin embargo, se detectan serias deficiencias de formación en los escolares de nuestra Octava región al respecto, las que les pasan la cuenta alingresar a la educación superior. La abrumadora mayoría de los escolares no tiene desarrollada la capacidad de distinguir soluciones completas de argumentos parciales, y dudan de sus propias respuestas a problemas en los que no se les indica, por parte de alguna autoridad, el camino correcto. Se puede ilustrar fácilmente esta situación con un problema bastante simple. Ejemplo 1. ¿Existen cuadradosmágicos para la suma de orden 2x2? Primero, recordar que un cuadrado mágico para la suma debe llenarse con números de manera que la suma de sus filas, columnas y diagonales sea siempre la misma. Además, no debe tener la misma cifra en todos los casilleros, de manera que 2 2 2 2 3.41 3.41 3.41 3.41
no valen como cuadrados mágicos. Cabe notar que el problema planteado tiene la ventaja que no serequiere mayor conocimiento para ser comprensión. Enfrentados a este problema, de acuerdo a la experiencia del autor, luego de un tiempo más o menos prudente, el escolar comienza a sospechar que existe “algún truco” y otros afirman que “no se puede”. Al serles planteada la pregunta natural “¿Porqué no se puede?”, la mayoría responde con argumentos ambiguos que se reducen a “No se puede porque no puedoencontrar ninguno por más que lo intente”. Lo preocupante es que al serles confirmado el hecho que efectivamente no se puede, no expresan mayor interés en saber por qué efectivamente es imposible y se conforman rápidamente con la autoridad docente. En efecto, el autor ha observado cómo, después de decir que era imposible, se les dice que es posible y nuevamente comienzan a tratar de encontrar elcuadrado, después se les dice que es imposible, luego nuevamente que es posible y así sucesivamente. En esta situación de incertidumbre, se les expone la solución al problema. Solución al Ejemplo 1. Supongamos que existen cantidades a,b,c,d tales que a b c d
es un cuadrado mágico para la suma. Luego, debe tenerse a+b = a+c, de donde b=c. Pero también b+d = c+d, de donde b=c. Es decir, a=b=c,quedando a a a d Pero también debe tenerse a+d = a+a de donde d=a, es decir, la única posibilidad es que todas las cantidades sean iguales, lo que no es una solución válida. Al serles expuesta esta solución a los estudiantes (se ha trabajado con grupos de Primero a Cuarto Medio), comprenden inmediatamente el argumento y logran captar la diferencia entre esta solución completa y sus anterioresafirmaciones sin base. Ejemplo 2. Para n=0,1,2,3…, la expresión ¿Es siempre un número primo? Podemos tratar de hacernos una idea en este problema probando con algunos valores. Se tiene • F(0) = 41 es primo • F(1) = 43 es primo • F(2) = 47 es primo • F(3) = 53 es primo • F(4) = 61 es primo • F(5) = 71 es primo ¿Es necesario verificar más y más, sabiendo que existen infinitos números? Tarde o temprano, seemite el siguiente juicio “Al ir reemplazando se ve claramente que siempre se obtendrá un número primo”. Esta respuesta es claramente insatisfactoria, pues el hecho que una propiedad se cumpla para algunos valores no significa que se cumpla para “todo” valor. En efecto, la respuesta no sólo es incompleta, sino que también errónea y la expresión no siempre da un número primo. Basta probar conEste valor no es primo, pues es divisible por 41. Este ejemplo también ilustra que las respuestas completas no tienen porqué ser complicadas, sólo deben ser concluyentes y desprovistas de afirmaciones dudosas.
La actividad más importante de las matemáticas no es hacer cálculos ni memorizar teoremas, sino que hacer demostraciones. Es decir, dar justificaciones completas a los distintos...
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