EL METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES

EL METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES
Las características básicas de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Por tanto, en problemas de análisis es importante ubicar los polos de lazo cerrado en el plano s. En el diseño de sistemas de lazo cerrado se desea ajustar los polos y ceros de lazo abierto, de manera de que los polos y ceros delazo cerrado se sitúen en las posiciones deseadas en el plano s.
Método del lugar de las raíces. La idea básica en el método del lugar de las raíces, es que los valores de s que hacen a la función transferencia alrededor del lazo igual a - 1, deben satisfacer la ecuación característica del sisterra.

El lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema de lazo cerrado alvariar la ganancia desde cero hasta infinito, da su nombre al método. Este diagrama indica claramente las contribuciones de cada polo o cero a las posiciones de los polos de lazo cerrado.

El método del lugar de las raíces, permite encontrar los polos de lazo cerrado, partiendo de los polos y ceros de lazo abierto tomando a la ganancia como pará- metro. Esto evita las dificultades inherentes a lastécnicas clásicas, dando una presentación gráfica de todos los polos de lazo cerrado, para todos los valores de la ganancia de la función transferencia de lazo abierto.

Al diseñar un sistema de control lineal se encuentra que el método del lugar de la raíz, resulta ser muy útil pues indica la forma en que hay que modificar la posición de los polos y ceros de lazo abierto para que la respuestacumpla con las especificaciones de comportamiento del sistema. Este método es especialmente adecuado para obtener muy rápidamente resultados aproximados.

Como el método es un procedimiento gráfico para hallar las raíces de la ecuación característica, brinda un procedimiento gráfico efectivo para hallar las raíces de cualquier ecuación polinómica que se presente en el estudio de sistemasfísicos.

Para la construcción de diagramas del lugar de las raíces. Se ha de utilizar cálculo gráfico, combinado con inspección, para determinar los lugares de las raíces sobre los cuales deben quedar las raíces de la ecuación característica del sistema de lazo cerrado. Aunque sólo
se emplean sistemas simples con fines ilustrativos, los procedimientos para hallar los lugares de la raíz, no son máscomplicados para sistemas de orden superior.

El siguiente es un procedimiento típico para trazar el lugar de las raíces:

1. Determinar los lugares de las raíces sobre el eje real. Para cualquier punto de prueba s sobre el eje real, la suma de las contribuciones angulares de los polos complejos conjugados es 360°. Por tanto, el efecto total de los polos complejos conjugados es cero en el ejereal. La ubicación del lugar de la raíz sobre el eje real se determina con el cero de lazo abierto sobre el eje negativo real. Una prueba simple revela que una sección del eje negativo real, la comprendida entre - 2 Y - 00, es una parte del lugar de la raíz. Se hace notar que como este lugar está comprendido entre dos ceros (en s = ~ 2 Y s = - OCJ), realmente es una parte de los lugares de laraíz, cada una de las cuales comienza en uno de los dos polos complejos conjugados. En otras palabras, dos lugares de la raíz tienen ruptura en la parte del eje real negativo entre - 2 Y - OCJ.

Como hay dos polos de lazo abierto y un cero, hay una asíntota que coincide con el eje real negativo.

2. Se determina el ángulo de separación respecto a los polos de lazo abierto complejos conjugados.La presencia de un par de polos de lazo abierto complejos conjugados, requiere la determinación del ángulo de separación respecto a estos polos. Es importante conocer este ángulo porque el lugar de las raíces cerca de un polo complejo, da información respecto a si el lugar originado por el polo complejo se traslada hacia el eje real o se extiende hacia la asintota.



Los polos de lazo...