El número áureo


El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción), representado por la letra griega φ(phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional.



El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sídos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica:
Siendoel valor del número áureo φ el cociente
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmentomayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

­El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides, quien lodefinió de la siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.Platón vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griegoProclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen".
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de EuclidesPropiedades aritméticas
es el único número real positivo tal que:




La expresión anterior es fácil de comprobar:


φ posee además las siguientes propiedades: