El numero aureo

 
EL NÚMERO DE ORO
Un número nada fàcil de imaginar que convive con la humanidad porqueaparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con laletra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.
Tres números con nombre
Tres números con nombre.Hay tres números de granimportancia en matemáticas y que "paradójicamente"nombramos con una letra. Estos números son:
El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relacionala longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2. .radio=.diámetro).
El número
e
= 2´71828......, inicial del apellido de su descubridorLeonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece comolímite de lasucesión de término general .
El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado númerode oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lotuvo presente en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (suscifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llamairracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamenteunas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).
Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dosprimeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ningunaecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientrasque el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de laecuación de segundogrado es que da como resultado el número de oro.
 
La sección áurea y el número de oro

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extremarazón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es ala totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con lamisma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Estaproporción o formade seleccionar proporcionalmente una línea se llamaproporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicadaanteriormente
Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación quetendremos que resolver
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x= .
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir elsegmentomayor entre el menor,
 
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lounimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distanciasobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor delrectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es(nuestronúmero de oro).


Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partirde este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremosmas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámidesegipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando secolocandos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el puntoA. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:
Vamos a demostrar que los vectores y son proporcionales:


 
Pitágoras y el número de oro
Pitágoras
(c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la islade Samos.Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía dePolícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al surde Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos yfilosóficos, conocido como pitagorismo....