El problema de la Braquistócrona, los problemas Isoperimétricos y otros problemas de la Física como elementos introductorios al Cálculo de variaciones para estudiantes de primer curso de Ingenierías

El problema de la Braquistócrona, los problemas Isoperimétricos y
otros problemas de la Física como elementos introductorios al Cálculo
de variaciones para estudiantes de primer curso de Ingenierías
Ya que la fábrica del universo es más que
perfecta y es el trabajo de un Creador más que
sabio, nada en el universo sucede en el que
alguna regla de máximo o mínimo no aparezca.
Leonhard Euler1. Una propuesta didáctica
1.1 Introducción
El objetivo de esta introducción es el de tratar con conceptos básicos del cálculo
variacional procurando presentar diferencias y similitudes con contenidos previos que
ya han sido adquiridos por lo estudiantes. Se presenta la idea de funcional
comparándola con la idea de función, así como diversos ejemplos muy sencillos en los
que aparecenfuncionales. Se termina con un ejemplo, como es el de la longitud de un
arco de curva que les permite utilizar conocimientos adquiridos en segundo de
Bachillerato. La mayor parte de las actividades que se proponen a lo largo de este
trabajo han sido extraídas de los cuatro libros que aparecen en el apartado de
bibliografía, aunque adaptadas al nivel de conocimiento de los estudiantes.
Desarrollode la introducción
Conjuntamente con los problemas en que es necesario determinar los máximos y
mínimos de cierta función y=f(x), con frecuencia surgen problemas físicos en los que es
necesario hallar los valores máximo y mínimo de un tipo especial de magnitudes,
llamadas funcionales.
Se llama funcionales a un determinado tipo de funciones cuyos valores se
determinan a partir de los valoresde otras funciones. Son “funciones de funciones” o
tipos de funciones en los que la variable independiente es una función.
En el caso de las funciones, a cada número le corresponde otro número. En el caso
de las funcionales, a cada función le corresponde un número.
Vamos a ver algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sea M= C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas y(x)
definidas en [0,1], ysea J  yx    y( x)dx . J  yx  es una funcional que a cada
1

0

función y(x)C [0,1] le asocia un valor determinado por J  yx .
1

 x3 
1
Si y(x)=x , J  y x    x dx     .
0
 3 0 3
2

1

2

2
  cos x 
 .
Si y(x)=sin(x), J  yx    sin xdx  

0
  0 
1

1

1

Si y( x)  e

2x

 1, J  y x    e
1

0

2x

1 e2x

e2 3
 1 dx  
 x 

2 2
 2
0



Ejemplo 2: Sea M= C1 [a,b] la clase de funciones y(x) que tienen derivada
continua en [a,b] y sea J[y(x)] =y´(x0), donde x0[a,b]. J[y(x)] es una funcional definida
en M.
Si, por ejemplo, a=1, b=3 y x0=5, a la función y(x)=x3-1 le corresponde el número
J[y(x)]=y´(5)=352=75. A y(x)=tanx le corresponde el número J[y(x)]=1+tan25.Ejemplo 3: Consideremos ahora este otro caso un poco más complicado. Sea
M=C[-1,1] la clase de todas las funciones continuas y(x) definidas en [-1,1] y sea (x, y)
una función definida y continua para valores de x[-1,1] y para todos los valores reales
de y. Sea J[y(x)]=   x, y dx . J[y(x)] es una funcional definida en M. Concretamente,
1

1

si y(x)=x y  x, y  
1

1

 x
1
dx  ln 1  x 2
2
2
1 x

x
, tendremos que a y(x)=x le corresponde el valor
1 y2



1
1

0

Ejemplo 4: La longitud l de un arco de curva plana que une dos puntos dados
A(x0, y0) y B(x1, y1) es una funcional.

Figura 1

La magnitud l puede calcularse si se da la ecuación de la curva, y=y(x). De este
modo:

¿Por qué es esto así?

2

Figura 2

La longitudaproximada del segmento de curva comprendido entre xi y xi+1 es:

Una primera aproximación de la longitud viene dada por:

Y el valor exacto de la longitud del arco:
=
con
Vamos a trabajar con este tipo de expresiones que, por otra parte, desempeñan un
muy importante papel en el terreno de la física y de las matemáticas aplicadas.
Una de las ramas más desarrolladas del trabajo con...