El péndulo doble caotico

El péndulo doble caótico

Julio Pozo y Jonathan Makuc Departamento de Ciencias Básicas Facultad de Ciencias de la Ingeniería Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: julio.pozo@udp.cl

Resumen En este trabajo se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico. Se utiliza el formalismo de Lagrangepara obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ángulos θ 1 y θ 2 respectivamente, se determinan estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numéricamente utilizando Maple. Se desarrolla un código en Maple que permite representar el movimiento del sistema mediante una animación en el espacio real,con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en términos de los parámetros relevantes que son las masas y las longitudes de los péndulos. Para cada caso investigado se presentan los gráficos que dan cuenta de cómo se comportan los ángulos θ 1 y θ 2 en función del tiempo. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo de40 segundos, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los péndulos, observándose que éstos últimos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento. También en estas figuras se observa el evidente cambio que se produce en el comportamiento del sistema al cambiar los valores de las masas y de las longitudes.1. Introducción: Un péndulo doble consiste en sistema formado por un péndulo que está atado a otro péndulo, tal como se muestra en la figura. Este es un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico.

r Consideremos un péndulo doble inmerso en un campo gravitatorio g , en el cual las masas m1 y m2 están atadas por alambres rígidos de masas despreciables y delongitudes l1 y l 2 respectivamente.

θ1

l1

m1

θ2

l2

m2

2. Modelo y teoría Las posiciones de las masas están dadas por: x1 = l1 senθ 1 y1 = −l1 cosθ 1 x 2 = l1 sen θ 1 + l 2 sen θ 2 y 2 = −l1 cosθ 1 − l 2 cosθ 2 La energía potencial del sistema es V = m1 gy1 + m2 gy 2 Sustituyendo y1 dada por (2) e y 2 dada por (4) en (5) se encuentra V = −(m1 + m2 ) gl1 cosθ 1 − m2 gl 2 cosθ2 La energía cinética del sistema está dada por: T= 1 1 1 1 2 & &2 m1 x12 + m2 x 2 ≡ m1υ12 + m2υ 2 2 2 2 2 (6) (5) (1) (2) (3) (4)

(7)

Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (1) y (3), luego reemplazando en (7) la energía cinética toma la forma T= 1 1 2 & & & & & m1l12θ 12 + m2 [l12θ 12 + l 2 θ 22 + 2l1 l 2θ 1 θ 2 cos(θ 1 − θ 2 )] 2 2 (8)

El Lagrangiano L = T − V está dado porL= 1 1 2 & & & & & m1l12θ 12 + m2 [l12θ 12 + l 2 θ 22 + 2l1 l 2θ 1 θ 2 cos(θ 1 − θ 2 ) 2 2 + (m1 + m2 ) gl1 cosθ 1 + m2 gl 2 cosθ 2

(9)

La ecuación diferencial de movimiento de Lagrange para θ 1 d  ∂L  ∂L  − =0 & dt  ∂θ 1  ∂θ 1   tiene la forma: & & & (m1 + m2 )l1θ&1 + m2 l 2θ&2 cos(θ 1 − θ 2 ) + m2 l 2θ 22 sen(θ 1 − θ 2 ) + (m1 + m2 ) g sen θ 1 = 0 Y la ecuación diferencial demovimiento para θ 2 d  ∂L  & dt  ∂θ 2  Queda expresada como: & & & m2 l 2θ&2 + m2 l1θ&1 cos(θ 1 − θ 2 ) − m2 l1θ 12 sen(θ 1 − θ 2 ) + m2 g sen θ 2 = 0 De esta forma se encuentra un par de ecuaciones de movimiento (10) y (11), cuyas soluciones que son las que describen el comportamiento completo del sistema. 3. Resultados y conclusiones Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo ordenacopladas (10) y (11) pueden ser resueltas numéricamente para θ 1 y θ 2 con alguna elección adecuada para los parámetros de las condiciones iniciales. (11)  ∂L −  ∂θ = 0 2 

(10)

Cabe destacar que las ecuaciones de movimiento, también pueden ser obtenidas mediante el formalismo de Hamilton a partir del cálculo de los momentos generalizados pθ1 y pθ 2 encontrándose los mismos resultados

3.1...