El Teorema de Pitágoras

DG3CLS677_09.qxd

2/10/04

5:21 PM

Page 117

LECCIÓN

CONDENSADA

9.1

El Teorema de Pitágoras

En esta lección
●

●
●
●

Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las
longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo
Resolverás un rompecabezas de disección que te ayudará a comprender por
qué funciona elTeorema de Pitágoras
Leerás una prueba de párrafo del Teorema de Pitágoras
Usarás el Teorema de Pitágoras para resolver problemas

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama la
hipotenusa y los otros lados se llaman catetos (legs). Si a y b son las
longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la
hipotenusa, entonces el Teorema dePitágoras establece que a2 ϩ b 2 ϭ c 2.
Es decir, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual
al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Hipotenusa
c

a
Catetos

b

La actividad de la investigación ayudará a convencerte de que el Teorema de
Pitágoras es cierto.

Investigación: Los tres lados de un triángulo rectángulo
Sigue atentamente los Pasos 1–3 en tu libro.Trata de ser lo más exacto posible
cuando construyas los ángulos y los segmentos de recta.
Recorta el cuadrado que se sitúa sobre el cateto más corto y las cuatro partes
del cuadrado que se sitúan sobre el cateto más largo. Acomoda las cinco partes
para que cubran exactamente el cuadrado que se sitúa sobre la hipotenusa.
(Sugerencia: El cuadrado pequeño va a la mitad.)
Ahora piensa en laforma en que este rompecabezas demuestra el Teorema de
Pitágoras:
●
●
●

●

Escribe expresiones para las áreas de los cuadrados que se sitúan sobre los
catetos.
Escribe una expresión para el área del cuadrado que se sitúa sobre la
hipotenusa.
Pudiste cubrir exactamente el cuadrado de la hipotenusa con los cuadrados de
los catetos. Explica en palabras lo que esto dice respecto a lasáreas de los tres
cuadrados.
Ahora escribe una ecuación algebraica que exprese la relación existente entre las
áreas. Resume tu trabajo en la forma del Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los

C-82

cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud
de la hipotenusa. Si a y b son las longitudes de los catetos, y c esla longitud
de la hipotenusa, entonces a2 ϩ b 2 ϭ c 2.
(continúa)
Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press

CHAPTER 9

117

DG3CLS677_09.qxd

2/10/04

5:21 PM

Page 118

Lección 9.1 • El Teorema de Pitágoras (continuación)
Un teorema es una conjetura que se ha probado. Hay más de 200 pruebas
conocidas del Teorema de Pitágoras. Tu libroproporciona una prueba. Lee esa
prueba atentamente y asegúrate de que puedes explicar cada paso.
En la página 464 de tu libro se dan algunos ejemplos que ilustran que la relación
pitagórica, a 2 ϩ b 2 ϭ c 2, no se mantiene en triángulos acutángulos ni
obtusángulos.
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolver problemas relacionados con
triángulos rectángulos. En tu libro se dan dosejemplos; síguelos y después lee los
ejemplos siguientes.

EJEMPLO A

ᮣ

Solución

Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo
y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el
Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud.
a2 ϩ b2 ϭc2

Sustituye los valores conocidos.

4,900 ϩ 10,000 ϭ c 2

Eleva los términos al cuadrado.

122 Ϸ c

70 m

La fórmula de Pitágoras.

702 ϩ 1002 ϭ c 2

14,900 ϭ c 2

c

100 m

Suma.
Resuelve.

La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.

EJEMPLO B

ᮣ

Solución

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies
de longitud y una...