El Teorema De Taylor

El Teorema de Taylor.
El Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto.
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entornoreducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si [pic]≥ 0 es un entero y [pic]una función que es derivable [pic]veces en el intervalo cerrado [[pic], [pic]] y n+1 en el intervalo abierto ([pic], [pic]), entonces se cumple que:
(1a) [pic]
O en forma compacta
(1b) [pic]
Donde,[pic]denota el factorial de [pic], y [pic]es el resto, término que depende [pic]y es pequeño si [pic]está próximo al punto [pic]. Existen dos expresiones para [pic]que se mencionan a continuación:
(2a) [pic]
donde [pic]y [pic], pertenecen a los números reales, [pic]a los enteros y [pic]es un número real entre [pic]y [pic].
(2b) [pic]
Si [pic]es expresado de la primera forma, se lo denomina Términocomplementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones [pic], se puede probar que el resto, [pic], se aproxima a cero cuando [pic]se acerca al ∞; dichas funcionespueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto [pic]y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con [pic]expresado de la segunda forma es también válido si la función [pic]tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Caso de varias variables

Elteorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura [pic]cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier [pic]:
[pic]
Donde la suma se extiende sobre losmulti-índices α El resto satisface la desigualdad:
[pic]
Para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

Teoremas
El primer resultado básico es el Teorema del Valor Medio para funciones. En palabras y en el contexto físico del movimiento de una particula,este teorema dice que en cualquier intervalo finito de tiempo, la velocidad promedio de la particula en el intervalo es igual a la velocidad instatanea en algún instante de tiempo. Tenemos pues:
Teorema (1.1): (Teorema del Valor Medio para funciones) Sea [pic]continua y diferenciable en (a,b) donde a,b son finitos. Entonces existe un número c en (a,b) tal que 
[pic](1.1)
Para integrales tenemostambién un resultado parecido.
Teorema (1.2): (Teorema del Valor Medio para Integrales) Suponga que f y g son funciones continuas en el intervalo acotado [a,b] y que g(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]. Entonces existe un punto c en [a,b] tal que
[pic](1.2)
En el caso de que g=1, el resultado se puede interpretar como que el área bajo la curva f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área delrectángulo con base [a,b] y altura f(c). 
El próximo teorema establece la idea intuitiva de que si una función continua cambia de signo en un intervalo [a,b] entonces en algún punto del intervalo cruzó el eje de x. Veamos: 
Teorema (1.3): (Teorema del Valor Intermedio) Suponga que [pic]es continua y que C es un número estrictamente entre f(a) y f(b). Entonces existe un número c en (a,b) tal que f(c)=C....