El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dadauna función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por . Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).
Demostración
LEMA.
Sea f integrable sobre [a,b] y

Entonces:

Demostración:
Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define mh y Mh como:
,

Aplicando el 'lema' se observa que:
.
Por lo tanto,

Sea h < 0. Sean:
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que:
.
Como:
,
Entonces:
.
Puesto que h < 0, se tiene que:
.
Y como f es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que:
.

Ejemplos:

Segundo teorema fundamental del cálculo
También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow ó regla de Newton - Leibniz.
Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.
Demostración:
Sea.
.
Tenemos por el primer teorema [continua]

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