El M Todo Del Punto Fijo Es Un M Todo Iterativo Que Permite Resolver Sistemas De Ecuaciones No Necesariamente Lineales

 El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Descripción del método
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver aescribir la ecuación  en la forma.

Llamemos  a la raíz de. Supongamos que existe y es conocida la función  tal que:
  Del dominio.
Entonces:


Tenemos, pues, a  como punto fijo de.
Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de , que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada  debe ser menor que 1 en magnitud (almenos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en  de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.
Algoritmo para iteración de punto fijo
1. Se ubica la ráiz de  analizando la gráfica.
2. Se despeja de manera:  .
3. Obtenemos de  
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤  ≤1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en , es decir  haciendo iteración de las operaciones.




Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que  . 
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. 
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con unerror aproximado de 
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de  .
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:


Con un error aproximado igual al 








Método de Newton Raphson
Este método, el cual es unmétodo iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no TRABAJA sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación    a la raíz    de  ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto  ; ésta cruza al eje    en un punto   que será nuestra siguiente aproximación a laraíz  .
Para calcular el punto  , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
 

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
 

Hacemos  :
 

Y despejamos  :
 

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson  para calcular la siguiente aproximación:
 

,   si

Note que el método de Newton-Raphson  no TRABAJA con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que  ,el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje   en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso   mismo es una raíz de  !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con    y hasta que  .
Solución
En este caso, tenemos que
 

De aquítenemos que:
 

Comenzamos con  y obtenemos:
 

En este caso, el error aproximado es,
 

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
Error aprox.
1
 
1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy...