electrica

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
VARIABLE REAL
[Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

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Cálculo III - Funciones vectoriales de una variable real

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Una función vectorial es cualquier función que tiene
como imagen (rango) un conjunto de vectores de ℜn.

r : D ⊆ ℜ → ℜn
t → r(t)
Es decir, para cada número tde D, r(t) es un único vector de ℜ n que
lo podemos escribir r(t) = (f1(t), f2(t), . . . . , fn(t)). Por esta razón, es
habitual que la función r se denote r = (f1, . . . . , fn), donde las
funciones reales fi son llamadas funciones componentes de r.
Ejemplos:
1. r(t) = (t, 3t), t ∈ ℜ , se expresa también con las ecuaciones
paramétricas x = t, y = 3t. La imagen o trayectoria de r es una
2recta en el plano ℜ .

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Cálculo III - Funciones vectoriales de una variable real

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2. F(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2 π] . En este caso, la trayectoria de F
es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1?

3. ¿Cuál es la trayectoria de G(t) = (sen t, cos t), con t ∈ [0, 2 π] ?_________________________________________________________________________
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Ejercicio: Con la ayuda de calculadora, describa la curva en el
espacio que definen las siguientes funciones vectoriales:
a) r(t) = (1 – t, 2 + 4t, 3 + 2t)
b) r(t) = (sen t, 3, cos t)
c) r(t) = (2cos t, 2sen t, t)

Ejercicio: Determine el dominio de la función vectorial definida2
por r ( t ) = (ln( t ), t , 1 - t )
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Limites y continuidad
ℜ n, r = (f1, ….., fn) función vectorial, to un punto
n
de D y L = (a1, ….., an) ∈ ℜ . Entonces,

Sea r : D

lim r ( t ) = L

t→ to

⇔

lim

t→ to

r(t) − L = 0

⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ> 0 : 0 < t - t o < δ ⇒

Teorema:

lim r ( t ) = L

⇔

t→ to

r(t) - L < ε

lim fi ( t ) = a i , ∀ i = 1, 2, ...., n

t→ to

siempre que todos los límites de la derecha existan.

Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites,
a)
b)

lim r ( t ) si r(t) = ( e

t→ 0

−t

,

et
t

,

e t −1 )
t

3
lim r ( t ) si r(t) = ( sen ( t + π ), 3t + t , 5sen t )t→ 0

t

t

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Sea r : D

ℜ n , r = (f1, ….., fn) función vectorial y to un

punto de D. La función r es continua en to si y sólo si
lim r ( t ) = r ( t o )

t→ to

Observe que,
r continua en to ⇔
⇔

lim fi ( t ) = fi (t o ) , ∀ i = 1, 2,...., n

t→ to

fi continua

en t o , ∀ i = 1, 2,...., n

Ejemplos:
1. f(t) = (3t, 1/t) es continua en to, ∀ t o ∈ ℜ − {0}
2. r(t) = (t, et, arcsen t) es continua en [-1, 1].
π
3. r(t) = (sen t, cos t, tan t) no es continua en t o = 2 .
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Derivadase integrales
Sea r = (f1, ….., fn) función vectorial. La derivada de r en t es:
r'(t) =

dr
r(t + h) − r(t)
= lim
dt h → 0
h

r(t+h)-r(t)

siempre que este límite exista.
Interpretación geométrica:
Sea C una curva en el espacio ℜ 3 dada
por la función vectorial r, es decir, C
está formada por la punta del vector en
movimiento r(t). El vector r(t+h)-r(t) tiene
1
la mismadirección que h (r ( t + h) − r ( t )) . Si
h tiende a cero, este vector se acerca a
uno que está en la recta tangente a la
curva en el punto P determinado por r(t).

r’(t)
P
r(t)

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El vector r’(t), cuando existe y es distinto de cero, se
llama vector...