Electricidad

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA INDUSTRIAL
TERCER SEMESTRE

MATEMÁTICAS III

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR

Subtema 5.3

Integral doble encoordenadas polares.

INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

Consideremos la región A determinada por las semirrectas θ=β, θ =α y las curvas r=f1(θ), r=f2(θ), como en la figura 6. Supongamos que Aqueda incluida por completo en el sector
R: " r " a "0 "
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos
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Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mry trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones:
a) exteriores de A;
b) interiores a A, y
c) atravesadas por el contorno de A.
Prescindimos quetodas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse senumeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de lacorrespondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma
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Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el delexterior, rk-½r; por consiguiente
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Que después de efectuar operaciones se reduce a 27.
Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumascuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de Fextendida a A:
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Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:
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Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir...