Electricidad

s. edición
IN,T RODUCCiÓN AL
ALGEBRA
LINEAL
r:8LIMUSA
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Contenido de esta obra:
• SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Y MATRICES
• DETERMINANTES
• VECTORES EN LOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL
Y TRIDIMENSIONAL
• ESPACIOS VECTORIALES
• TRANSFORMACION,ES LINEALES
• EIGENVALORES (VALORES PROPIOS),
EIGENVECTORES (VECTORES PROPIOS)http://libreria-universitaria.blogspot.com
Introducción
al álgebra
Howard Anton
Drexel University
!El LlMUSA
NORIEGA EDITORES
M8(ICO • España • Venezuela. Colombia
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VERSiÓN A.UTORIZADA EN ESPAÑOL
DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLt:S POR
JOHN W,LEY & SONS, INC., CON EL TITULO:
ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA,
3RD. EDITION .
b) => c) => a).
a) ~ B): Supóngase que A esinversible y que Xo es cualquier solución para AX = O. Por
consiguiente , AXu = O. Al multiplicar los dos miembros de esta ecuación por A - 1 se obtiene
A - 1 (AXo) = A - 1 O, o bien (A - 1 A)Xo = O, o bien,IXo = O, o bien Xo = 0.. Por tanto
, AX = O sólo tiene la solución trivial.
b) => c): Sea AX = O la forma matricial del sistema
(1.6)
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MATRICESELEMENTALES Y UN METODO PARA HALLAR A-l 63
y supóngase que el sistema únicamente tiene la solución trivial. Si se resuelve por la eliminación
de Gauss-Jordan, entonces el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma
escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada será
Xl =0
X2 =0 (1.7)
Xn = O
Por consiguiente, la matriz aumentada
r a12 a ln
!J a21 a 22 a2n
anl a n2 a nn
para (1.6) se puede reducir a la matriz aumentada
l O O O O
O 1 O O O
O O O O
O O O O
para (1.7), por una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones. Si se descarta
la última columna (de ceros) en cada una de estas matrices, es posible concluir que se puede
reducir A hacia In por una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones;
es decir, A es equivalente respecto a losrenglones a In.
e) ~ a): Supóngase que A es equivalente respecto a los renglones a In, de modo que es
posible llevar A hacia In por una sucesión finita de operaciones elementales sobre los renglones.
Por el teorema 8 es posible realizar cada una de estas operaciones multiplicando
por la izquierda, por una matriz elemental apropiada. Por tanto, se pueden encontrar las
matrices elementales El, E2, ..• , Ek tales que
(1.8)
Por el teorema 9, El, E2 , •.• , Ek son inversibles. Al multiplicar los dos miembros de la
ecuación (1.8) por la izquierda, sucesivamente por Ek/ , ... , Ei l ,El l se obtiene
(1.9)
Dado que (I .9) expresa a A como un producto de matrices inversibles, se puede concluir
que A es inversible. I
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64 SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES Y MATRICES
OBSERV ACION .• Como In está en la forma escalonada en los renglones reducida y ya que
ésta para una matriz A es única, el inciso (e) del teorema 10 es equivalente a afirmar
que In es la forma escalonada en los renglones reducida de A . ¡
Como primera licación de este teorema, se establecerá un método para determinar
la inversa de una matriz inversible.
La inversión delprimero y segundo miembros de (I .9) da A -1 ::: Ek . . . E2E¡ , o
lo que es equivalente,
(1.10)
con lo cual se afirma que es posible obtener A -1 al multiplicar In sucesivamente por la
izquierda, por las matrices elementales El, E2, .. . , Ek' Puesto que cada multiplicación
por la izquierda, por una de estas matrices elementales, realiza una operación sobre los
renglones, se concluye, alcomparar las ecuaciones (1.8) y (l.l O), que la sucesión de
operaciones sobre los renglones que reduce A hacia In, reducirá In hacia A -¡ . Por tanto,
para hallar la inversa de una matriz inversible A , debe encontrarse una sucesión de operaciones
elementales sobre los renglones que reduzca A hacia la identidad y, a continuación,
efectuar esta misma sucesión de operaciones sobre In para obtener A...