Electronica

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

TEMA 3. Álgebra de Boole
INDICE:
• EL ÁLGEBRA DE BOOBLE
• TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
• REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
o TABLA DE VERDAD
o FORMAS CANÓNICAS
o CONVERSIÓN DE UNA FORMAS A OTRAS
• FUNCIONES BASICAS.
• IMPLEMENTACIÓN MEDIANTE CONJUNTOS

COMPLETOS

Boole (1815-1864)

T3-1

Fundamentos de los Computadores.Álgebra de Boole.

T3-2

EL ÁLGEBRA DE BOOBLE
UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y
LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA
SIGUIENTE FORMA
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A+B
0
1
1
1

A·B
0
0
0
1

OPERADOR +
OPERADOR ·
OPERADOR ‘

A
0
1

A’
1
0

OPERADOR OR
OPERADOR AND
OPERADOR NOT

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
1.-PROPIEDAD CONMUTATIVA:
A+B=B+A
A·B=B·A
2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
A·(B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B)·(A+C)
3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES
A+0=A
A·1=A
4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’
A + A’ = 1
A · A’ = 0
PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica
deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo
teorema o identidadválida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.
CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B
VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya
sea constante o fórmula completa.

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

T3-3

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.
TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elementode B se verifica:
A+1 = 1
A·0 = 0
TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0’=1
1’=0
TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:
A+A=A
A·A=A
TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica:
(A’)’ = A
TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
TEOREMA 7: para cada par de elementos de B,se verifica:
A + A’·B = A + B
A · (A’ + B) = A · B
TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y
(·) cumple la propiedad asociativa:
A+(B+C) = (A+B)+C
A·(B·C) = (A·B)·C
LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:
(A+B)’ = A’·B’
(A·B)’ = A’ + B’

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

T3-4

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS(I)
TABLA DE VERDAD
Tabla que representa el valor de la función para cada combinación de entrada. Si
la función está definida para todas las combinaciones se llama completa, si no,
se denomina incompleta. Para 4 variables:
X3

X2

X1

X0

F(X3, X2, X1,X0)

(0)

0

0

0

0

F(0,0,0,0)

(1)

0

0

0

1

F(0,0,0,1)

(2)

0

0

1

0

F(0,0,1,0)

(3)0

0

1

1

F(0,0,1,1)

(4)

0

1

0

0

F(0,1,0,0)

(5)

0

1

0

1

F(0,1,0,1)

(6)

0

1

1

0

F(0,1,1,0)

(7)

0

1

1

1

F(0,1,1,1)

(8)

1

0

0

0

F(1,0,0,0)

(9)

1

0

0

1

F(1,0,0,1)

(10)

1

0

1

0

F(1,0,1,0)

(11)

1

0

1

1

F(1,0,1,1)

(12)

1

1

0

0F(1,1,0,0)

(13)

1

1

0

1

F(1,1,0,1)

(14)

1

1

1

0

F(1,1,1,0)

(15)

1

1

1

1

F(1,1,1,1)

Una Fórmulas de conmutación es la expresión de una función Lógica.
Un LITERAL es una variable (A) o complemento de una variable (A’)
Un TÉRMINO PRODUCTO es una operación AND de un número de
literales.
Una fórmula normal disyuntiva es una suma de términosproductos.
Un TÉRMINO SUMA es una operación OR de un número de literales.
Una fórmula normal conjuntiva es un producto de términos sumas.

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

T3-5

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS (II)
FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA (SOP)
MINTÉRMINO (mi): término producto en el que aparecen todas las
variables, ya sean complementadas o sin complementar....