Elemento finito

Solución exacta de la Ecuación diferencial
d4 v x EJ 4 = q 1 − dx L Integrando EJ EJ EJ EJv = qL4 x 1 x d3 v = qL − 3 dx L 2 L
2 2

+A
3

d2 v 1 x = qL2 2 dx 2 L
3

−

1 x 6 L
4

+ AL

x +B L
2

dv 1 x = qL3 dx 6 L 1 x 24 L
4

−

1 x 24 L
5

1 x + AL2 2 L
3

+ BL

x +C L
2

−

1 x 120 L

1 x + AL3 6 L

1 x + BL2 2 L
2

+ CL

x +D L

d Valuando lascondiciones de borde en los extremos (v = 0 y dxv = 0) 2      0 0 0 1 A 0   0 1 0 0  B     = −qL2  1 0 2   L3 L2  L   L 1  C  30 6 2 1 D L 1 0 0 3

La dos primeras son inmediatas B = D = 0, quedando
L3 6

L

L 0

A C

= −qL2

1 2 L 30 1 3 1 qL3 . 45

De la cuarta A = − 1 qL que llevado a la tercera C = 3 EJv = qL4 − v= 1 x 5 1 + 120 L 24 1 5 1 − ξ + ξ4 − 12024

Finalmente
3

qL4 EJ qL2 M= −ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ 6 qL T = −3ξ 2 + 6ξ − 2 6 La energía potencial total es π= q2 L5 EI 1 72
1 1

x 4 1 x − L 18 L 1 3 1 ξ + ξ 18 45

+

1 x 45 L

−ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ
0

2

1

dξ −
0

(1 − ξ) −

1 5 1 1 1 ξ + ξ 4 − ξ 3 + ξ dξ 120 24 18 45

−ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ
0

2

1

dξ =
0

ξ 6 + 9ξ 4 + 4ξ 2 − 6ξ 5 − 12ξ 3 + 4ξ 4 dξ ξ 7 13ξ 5 4ξ 3 + +− ξ 6 − 3ξ 4 7 5 3
1

=

=
0

1 945

1 Para un problema líneal como el propuesto la condición de mínimo implica que W = − 2 V

π = −W = −

1 q 2 L5 945 EI
1

Aproximación propuesta y datos
Los datos a utilizar son L[m] q[tn/m] E[tn/m2 ] I[m4 ] 5, 00 3, 00 2 × 106 5 × 10−3
N

v (x) =
i=1 N

sin iπ L
N

iπx L cos iπ L iπ L
2

αi iπx αi L sin
3

β (x) =
i=1

M (x) =EI
i=1 N

iπx αi L iπx αi L

T (x) = EI
i=1

cos

Método de colocación
Reemplazando la aproximación propuesta en la ecuación diferencial
N

EJ
i=1

iπ L

4

αi sin
N

iπx L

=q 1−

x L

i4 αi sin (iπξ) =
i=1

qL4 (1 − ξ) EJπ 4

El método de colocación consiste en hacer que la ecuación diferencial se cumpla en un conjunto finito de puntos. La cantidad de puntos decolocación debe ser igual a la cantidad de términos elegidos. En general para un dominio unidimensional los puntos se eligen simétricos. Usando un punto N = 1 y ξ 1 =
x1 L

=

1 2

π qL4 1 sin α1 = 2 EJπ 4 2 4 qL 1 α= EJπ 4 2 Usando dos puntos N = 2 y ξ 1 =
x1 L

=

1 4

ξ2 =

x2 L

=

3 2

sin (πξ 1 ) 24 sin (2πξ 1 ) sin (πξ 2 ) 24 sin (2πξ 2 ) Usando N puntos El sistema deecuaciones

α1 α2

=

qL4 EJπ 4

1 − ξ1 1 − ξ2

Kα = f resulta: Kij = j 4 sin (jπξ i ) qL4 fi = (1 − ξ i ) EJπ4
2

0.0014 0.0012 0.001 0.0008 0.0006

Exacta Col-1 Col-2 Col-3 Col-4 Col-5 Col-6 Col-7

6

5

4

Exacta Col-1 Col-2 Col-3 Col-4 Col-5 Col-6 Col-7

M
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

3

V

2 0.0004 0.0002 0 1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xi

XiFigura 1 Viga resuelta usando colocación. Desplazamientos y momentos

4

2

Exacta Col-1 Col-2 Col-3 Col-4 Col-5 Col-6 Col-7

1

0

Res

-1

0 -2 -2 -3

Exacta Col-1 Col-2 Col-3 Col-4 Col-5 Col-6 Col-7

T
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xi

Xi

Figura 2 Viga resuelta usando colocación. Corte y residuo

Método de residuosponderados
El método de residuos ponderados consiste en ponderar el residuo de la ecuación diferencial usando funciones de ponderación. El residuo de la ecuación diferencial es
N

r (x) = EJ
i=1

iπ L

4

sin

iπx x αi − q 1 − L L

Definiendo N funciones de ponderación Wj (x) linealmente independientes se impone para cada función de peso
L

Wj (x) r (x) dx = 0
0

3

Reemplazandola aproximación propuesta
L N

Wj (x) EJ
0 i=1 L

iπ L
N

4

sin

iπx L

αi − q 1 −
4

x L

dx = 0
L

EJ
0 i=1

iπ W j (x) L

iπx sin L

αi dx =
0

W j (x) q 1 −

x dx L

Kji αi = fi Para la clase de problemas tratados aquí (auto-adjuntos) es conveniente utilizar como funciones de peso a las mismas funciones de aproximación. Es decir que las Wj = sin luego...