Elementos de funciones

Apuntes de Cálculo
Elementos de funciones
Prof. Gamaliel Puentes Vivallos
Muchas cantidades dependen de otras para su tratamiento. Por ejemplo: los costos totales de producción C, dependen de la cantidad de artículos producidos q; El área A de un círculo depende de su radio r; la presión P depende de la temperatura T; etc…
Para describir como una cantidad depende o es determinada por otrautilizamos el concepto de función.
Las funciones de simbolizan frecuentemente por la forma , donde x es conocida como la variable independiente, a y se le llama variable dependiente. Por ejemplo
Notamos que y depende de x, es decir, para trabajar con una función necesitamos conocer los valores de la variable x, luego reemplazando en la fórmula obtenemos los valores de la variable y. A los resultadosse les llama pares ordenados donde x es la primera componente e y la segunda componente del par.
Una función es una relación entre dos variables en la que no hay dos pares ordenados con la misma primera componente.
El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x, el Recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variabledependiente y
El Dominio de la función se define como:

El Recorrido de la función es el conjunto de valores que se obtienen al aplicar la función a cada elemento del dominio, a cada uno de estos elementos se les llama imagen, así el recorrido es el conjunto de las imágenes. Formalmente se tiene:


El gráfico de la función, denotado , es un subconjunto del plano R2, definido como:

Observación.1 Hallarel valor que la función le asocia a un valor determinado de x, es evaluar una función. Así por ejemplo, al evaluar la función , en , se obtiene su imagen
Observación 2. Regla de la recta vertical. Si toda recta vertical que corte a la gráfica de una relación, lo hace en no más de un punto, entonces la relación es una función.




Determinación del dominio de algunas funciones reales.
Elanálisis de una función involucra la determinación de su dominio, que es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x, de modo que la “fórmula” en la definición de la función se pueda calcular. Para determinar este conjunto es necesario observar la fórmula y considerar los valores permitidos. Por ejemplo una función polinómica ( , tiene dominio todos los números reales.
Ejemplo 1.Hallar el dominio de la función
Como se trata de una función polinómica (cuadrática), su dominio son todos los reales. Anotamos

Una función racional , donde P y Q son polinomios, tiene como dominio todos los números reales excepto aquellos para los cuales . Así para una función racional el dominio se determina como:

Ejemplo 2. Hallar el dominio de la función racional


Ejemplo 3. Hallar eldominio de la función racional


Para una función radical del tipo con índice par, la condición en la determinación de su dominio es que la cantidad subradical no sea negativa (para que las imágenes sean números reales), es decir, en este caso el dominio se determina considerando los valores de x, tales que
Nota: Las funciones radicales con índice impar, no generan restricción para su cantidadsubradical.
Ejemplo 3. Hallar el dominio de la función
El dominio de esta función es el conjunto de valores de x, de modo que al extraer la raíz cuadrada, resulte un número real. Es decir:

Ejemplo 3. Hallar el dominio de la función

Note que el signo menos delante de la raíz no interfiere en el cálculo del dominio de la función (pero si afectará en la determinación del recorrido)
Ejemplo 4.Hallar el dominio de la función

Recordamos que un producto es no negativo cuando los factores son ambos no negativos o ambos no positivos. Esto nos permite el siguiente análisis:

Es decir:
De aquí tenemos:


Lo anterior se puede resumir en una tabla de análisis de signos como sigue:




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0
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0...