Elementos finitos

Introducción al método de los Elementos Finitos

Introducción al método de los elementos finitos
1.1 ALGEBRA MATRICIAL

En primer lugar tenemos definiciones de matrices seguidas por los fundamentos del álgebra matricial. Se prestará mayor atención a la matriz inversa y a la solución de un sistema de ecuaciones homogéneas simultáneas.

Introducción al método de los elementos finitos1.1.1 Escalar
Es la forma más usual en que se puede representar un número. Ejemplos: 1, 2, π, e ,-35.36, -6.4x1011, etc.

1.1.2 Vector
Es la representación de un estado definida por una magnitud y una dirección. Ejemplos: La velocidad, desplazamiento, fuerza, peso, etc.

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1.1.3 Matriz
En su forma más usual es un "array" (o tabla) de una cantidadescalar, que consiste en n filas por m columnas.

1.1.4 Adición y substracción de matrices
⎡ 1 − 1⎤ Si: [A ] = ⎢ 2 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 4 5 ⎥ ⎣ ⎦
y
⎡− 4 0 ⎤ [B] = ⎢− 2 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 − 7⎥ ⎣ ⎦

entonces:

⎡ (1 − 4) (−1 + 0)⎤ ⎡− 3 − 1 ⎤ [A] + [B] = ⎢ (2 − 2) (3 + 1) ⎥ = ⎢ 0 4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢(−4 + 6) (5 − 7) ⎥ ⎢ 2 − 2⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣
− 1⎤ ⎡ (1 + 4) ( −1 − 0)⎤ ⎡ 5 ⎥=⎢ 4 ⎢ (2 + 2) [A] − [B] = ⎢ 2⎥ (3 − 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢( −4− 6) (5 + 7) ⎥ ⎢− 10 12 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣

similarmente:

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1.1.5 Multiplicación de matrices En la relación [A ]x[B] = [C] se cumple que si [A ] es de orden m x n y [B] es de orden n x q entonces [C] es de orden m x
q.
2⎤ ⎡1 [A] = ⎢− 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 − 4⎥ ⎣ ⎦

Si

y

[B] = ⎡ ⎢

− 2 3 0⎤ ⎥ ⎣ − 1 4 1⎦

Cij = ∑ A ik xBkj
k =1

n

para elcaso:
1x (3) + 2 x (4) 1x (0) + 2 x (1) ⎤ ⎡ 1x (−2) + 2 x (−1) [C] = ⎢− 1x (−2) + 0x (−1) − 1x (3) + 0x (4) − 1x (0) + 0x (1)⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3x (−2) − 4 x (−1) 3x (3) − 4x (4) 3x (0) − 4 x (1) ⎥ ⎣ ⎦
⎡− 4 11 2 ⎤ [C] = ⎢ 2 − 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 2 − 7 − 4⎥ ⎣ ⎦

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1.1.6 Determinantes
Se explica el "método de la matriz triangular“, puesto que el determinante de estetipo de matriz está dado por el producto de la diagonal. Sea
⎡ 2 −1 0 ⎤ [A] = ⎢− 1 2 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 2 ⎥ ⎣ ⎦

Se debe transformar la matriz [A ] a una matriz triangular superior, para esto multiplicamos la 1ra fila por (0.5) y se la sumamos a la 2da:
⎡2 − 1 0 ⎤ [A] = ⎢0 1.5 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 1 2 ⎥ ⎣ ⎦

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Se multiplica la 2da por (1/1.5) y se lasumamos a la 3ra:
0 ⎤ ⎡2 − 1 [A] = ⎢0 1.5 − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 2 / 1.5⎥ ⎣ ⎦

de donde el determinante es : D = 2 x 1.5 x (2/1.5) = 4

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1.1.7 Matriz inversa
[A ] por su inversa [A ]−1 es igual El producto de una matriz
a la matriz unidad [1]. Se explica a continuación el método de Gauss-Jordan: Sea
4 3⎤ ⎡2 [A] = ⎢ 1 − 2 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 1 − 4 5⎥ ⎣ ⎦

=>4 3 1 0 0⎤ ⎡2 ⎢ 1 − 2 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 − 4 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦

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Dividiendo la 1ra fila por (2):
2 1.5 0.5 0 0⎤ ⎡1 ⎢ 1 −2 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 − 4 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ 2 1.5 0.5 0 0⎤ ⎡1 ⎢ 0 − 4 − 1.5 − 0.5 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 − 4 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦

Multiplicando la 1ra fila por (-1) y sumándola a la 2da:

Multiplicando la 1ra fila por (1) y sumándola a la 3ra:

1.50.5 0 0⎤ ⎡1 2 ⎢0 − 4 − 1.5 − 0.5 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2 6.5 0.5 0 1⎥ ⎣ ⎦

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Dividiendo la 2da fila por (-4): Multiplicando la 2da fila por (2) y sumándola a la 3ra: Dividiendo (7.25): la 3ra fila por
1.5 0.5 0 0⎤ ⎡1 2 ⎢0 1 0.375 0.125 − 0.25 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2 6.5 0.5 0 1⎥ ⎣ ⎦ 0.5 0 0⎤ ⎡1 2 1.5 ⎢0 1 0.375 0.125 − 0.25 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 7.25 0.75 − 0.5 1⎥ ⎣ ⎦ 0.5 0 0⎤ ⎡1 2 1.5 ⎢0 1 0.375 0.125 − 0.25 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0.1034 − 0.06897 0.1379⎥ ⎣ ⎦ 0.5 0 0 ⎡1 2 1.5 ⎤ ⎢0 1 0 0.0862 − 0.2241 − 0.0517⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0.1034 − 0.06897 0.1379 ⎥ ⎣ ⎦

Multiplicando la 3ra fila por (-0.375) y sumándola a la 2da:

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Multiplicando la 3ra fila por (-1.5) y sumándola a la 1ra:
0.1034 − 0.2069⎤ ⎡1 2 0 0.3449 ⎢0 1 0 0.0862 −...