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atic

as

CAP´
ITULO 1

COMENTARIOS INICIALES

ept

1.1.

o. d

eM

´
INTRODUCCION

rsid
ad
d

eA

ntio
q

uia

,D

Un sistema axiom´tico es la forma acabada que toma hoy una teor´
a
ıa
deductiva. Es un sistema donde todos los t´rminos u objetos no definidos
e
y las proposiciones no demostradas se enuncian expl´
ıcitamente, siendo estas ultimas, fijadascomo hip´tesis a partir de las cuales pueden construirse
´
o
las dem´s proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas l´gicas perfecta y
a
o
expresamente determinadas. El encadenamiento l´gico que se hace a partir
o
e
de las hip´tesis, constituye la demostraci´n. La necesidad de t´rminos no
o
o
definidos y proposiciones no demostradas se debe a que es imposible llevar
la definici´n yla demostraci´n indefinidamente.
o
o

Un

ive

Mediante la demostraci´n, se establecen nuevas proposiciones o relaciones
o
entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace
necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades;
es as´ como la demostraci´n y la definici´n corren de la mano.
ı
o
o
Definici´n y demostraci´n son enconsecuencia, las dos operaciones funo
o
damentales mediante las cuales se desarrolla una teor´ deductiva.
ıa
Dentro del desarrollo axiom´tico griego, las nociones y principios se consa
tru´ con fundamentaci´n en el mundo exterior, es decir, se pretend´ que
ıan
o
ıa
1

´
CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION

2

los axiomas respondieran a la realidad y fueran as´ mismo auto-evidentes;
ı
estetipo de axiom´ticas se han denominado gen´ticas o materiales, aqu´ los
a
e
ı
axiomas tienen un contenido y un sentido.

atem
atic

as

En la geometr´ desarrollada por Euclides, los t´rminos primitivos como
ıa
e
son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un
contenido “material”e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su
fundamentaci´n seprescinde de este desarrollo material e intuitivo.
o

eM

En oposici´n a la axiom´tica material, se estructura lo que se ha deo
a
nominado un sistema axiom´tico formal, en el cual los elementos primitivos
a
carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido
material en s´ mismo. El sentido viene definido impl´
ı
ıcitamente por las reglas
del juego constru´ıdas por los axiomas y las reglas l´gicas de demostraci´n.
o
o

ntio
q

uia

,D

ept

o. d

En un sistema formal, los axiomas no tienen caracter´
ısticas de autoevidentes, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de
resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen
de los axiomas por medio de reglas l´gicas, diremos que sonformalmente
o
v´lidas, es decir, que existe una filiaci´n l´gica entre los axiomas y dichas
a
o o
conclusiones.

rsid
ad
d

eA

De otra manera, podemos entender la “verdad” matem´tica como una
a
verdad implicada, donde el antecedente est´ constitu´ por los axiomas y el
a
ıdo
consecuente por las conclusiones.
En s´
ıntesis, una teor´ deductiva bien estructurada, debe cumplir las siıaguientes condiciones:

Un

ive

1. Enunciar expl´
ıcitamente los t´rminos primeros, con ayuda de los cuales
e
se propone definir todos los otros.
2. Enunciar expl´
ıcitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las
cuales se propone demostrar todas las dem´s. Estas proposiciones se dea
o
nominan axiomas, la elecci´n de estas proposiciones llamadas axiomas
es en gran medidaarbitraria, dependiendo en gran parte de los gustos
del autor que esta desarrollando la teor´ en general el autor busca que
ıa,
sean simples y no demasiados numerosos.

´
´
1.2. METODOS DE DEMOSTRACION

3

Los axiomas deben verificar a su vez tres propiedades:
Consistencia: se refiere a que no hallan dos teoremas deducibles
a partir de los axiomas y sean contradictorios..
Suficiencia: se...