elipse y hiperbole

ELIPSE

Definición. Una elipse es el conjunto de puntos del plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es siempre constante, mayor que la distancia entre los dospuntos (2a, con ).
Los puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Elementos: A1
Eje focal: Focos
: Eje focal
: Vértices
: Eje mayor.
: centro. A2
: Eje normal.
: Eje menor.
: Cuerda.: Cuerda focal.
: Lado recto.
: Diámetro.
Radios vectores.
: rectas directrices.

Ejercicio. Hallar la ecuación del lugar geométrico de punto que semueve en el plano tales que la suma de sus distancias a los puntos es siempre igual a 5.

Casos particulares.
1. Ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentescon los ejes de coordenadas.
1.1 Eje focal el eje X. (0,0) es el punto medio del segmento .
Coordenadas de los focos c: constante positiva.
Sea un punto cualquiera de la elipse. Pordefinición de elipse, el punto P debe satisfacer la condición geométrica



Desarrollando y simplificando se tiene
Como
Haciendo se tiene ,
Dividiendo por se tieneAnalizando la ecuación se tiene que son las intercepciones con el eje X, entonces Vértices:
La longitud del eje mayor es igual a 2a.
Los intercepto con el eje Y son , la longitud del eje menor2b.
Longitud del lado recto es igual a .
Excentricidad (e): se define como la razón .
 1
Directrices:
1.2 Eje focal el eje Y. En este caso las coordenadas de los focos son .Siguiendo el mismo procedimiento anterior, se tiene que la ecuación de la elipse es:



Estas ecuaciones se llaman primeras ecuaciones ordinarias de la elipse.

2. Ecuación de la elipse decentro (h, k) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas.
2.1 Eje focal paralelo al eje X.
Coordenadas de los focos:

Coordenadas de los vértices:




2.2 Eje focal paralelo al eje...