En busca de la felicidad

3. Multiplicación de polinomios.
Se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, colocando los términos semejantes (monomios del mismo grado) en columna. Se suman los productos obtenidos.
 
Ejemplo:
 
P(x) = –4x3 + 5x2 + x – 1
 
Q(x) = 3x2 – x + 6
 
Se colocan los polinomios uno debajo de otro y se comienza multiplicando el primer monomio de Q(x) (en rojo), portodos los monomios de P(x) (en rojo), obteniendo la primera fila de monomios para sumar (en rojo, debajo de la raya). Luego se multiplica el segundo monomio de Q(x) (en azul) por todos los de P(x) (en rojo), que da la segunda fila (en azul); el siguiente monomio multiplicador (verde) se vuelve a multiplicar por el polinomio multiplicando (rojo). Se colocan los monomios semejantes que se van obteniendoen columna, por grados. Se dejan huecos si faltan monomios de algún grado.
 
       
 
4. División de polinomios
La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros.
a)      Se divide el primer monomio del dividendo (en rojo) entre el primer monomio del divisor (en rojo), obteniéndose así el primer monomio del cociente (en rojo).
b)      Semultiplica el monomio obtenido en el cociente (en rojo), por todo el polinomio divisor (se obtiene la expresión en azul), y se resta al dividendo (hemos visto que para restar basta cambiar el signo y sumar).
c)      Con este polinomio diferencia (en verde), se repite el proceso. Y así hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Este es el resto, y la operación termina.
 Será fácil si lo vemos en una división. Dividiremos los polinomios
 
P(x) =  6x3 – 9x2 + 5
y
Q(x) = 2x2 + x
 
Es decir, hallaremos el polinomio P(x):Q(x)
 
Para hacer la división colocaremos a la derecha del dividendo, el divisor en la caja de dividir, y procederemos como se indicó anteriormente. Lo más fácil será ir haciendo la división y comprobar en cada paso que no hay errores. Esimportante dejar los espacios que corresponden a monomios que faltan en los polinomios. Comprueba cómo el monomio 6x del penúltimo renglón, ha podido escribirse en su lugar gracias a los espacios que previamente se habían previsto en el monomio dividendo y tras la primera resta.
 
La operación completa es la siguiente:
 
                                                                        
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2. Binomio de Suma al Cuadrado ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a +b ) ( a - b ) = a2 - b2 4. Diferencia de Cuadrados ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3= a3 + b3 + 3 ab (a + b) 5. Binomio Suma al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 6. Binomio Diferencia al Cubo a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) 7. Suma de dos Cubos | * Diferencia de Cubosa3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) * Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio( a + b + c)2 =a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) * Trinomio Suma al Cubo( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) * Identidades de Legendre( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab * Producto de dos binomios que tienen un término común( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab |
 Ejemplos :
1. Solución :

Aplicando productonotable en "a" que es una suma de binomios
x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :
(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2
(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1
(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2
= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)
Productos Notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
El...