Energía en un oscilador amortiguado

Energía en un oscilador amortiguado
Una de las consecuencias del amortiguamiento es la disipación de energía mecánica. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas

siendo K la energía cinética

y Pc la potencia de las fuerzas conservativas (la elástica, en este caso) y Pnc la de las no conservativas (que sería la de rozamiento). La potencia de las fuerzas conservativas verifica

con U laenergía potencial elástica

Pasando la energía potencial al primer miembro obtenemos la energía mecánica

La potencia de las fuerzas no conservativas la calculamos multiplicando la fuerza por la velocidad

de forma que nos queda la relación

Puesto que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos dice que la energía mecánica se va disipando progresivamente, aunque no a ritmouniforme: el consumo es mayor cuando lo es la rapidez del movimiento.
Efecto Doppler: Fórmulas y cálculos
Como se supone que ya sabemos, se llama efecto Doppler a las variaciones aparentes en la frecuencia de una onda cualquiera (sonora, luminosa, en el agua, etcétera), causadas por el movimiento ya sea de la fuente emisora, ya sea del receptor de la onda sonora o de ambos.
A modo de recordatorio,analicemos la siguiente escena:

La moto (es la fuente sonora) emite un sonido, supongamos de 200 Hz de frecuencia, que viaja por el espacio hacia todas direcciones a una velocidad de 343 metros por segundo. A su vez, la moto lleva una velocidad propia, que supondremos de 80 km por hora (unos 22 m/s).
¿Qué sucede con los receptores respecto a la frecuencia con que perciben el sonido de la moto?Veamos:
Todo depende de las velocidades de los involucrados.
La chica de la izquierda está en reposo, respecto a ella, el sonido debería llegar a la velocidad de 343 m/s, pero resulta que el emisor del sonido (la moto) se aleja de ella a 22 m/s; por lo tanto, a ella le llega el sonido solo a 321 m/s (343 menos 22), por lo tanto percibirá un sonido de menor frecuencia (ondas más largas, tono menosagudo).
El muchacho de la derecha camina, supongamos a 3 m/s, hacia la moto. Respecto a este muchacho, el sonido viaja hacia él a 343 m/s, más los 22 m/s de la moto y más los 3 m/s de su caminar hacia la moto; por lo tanto, percibirá un sonido de mayor frecuencia, ondas más cortas, tono más agudo).
Entendida esta relación entre las velocidades, ahora mostraremos cómo es posible obtener ecuaciones quenos permiten calcular las variaciones de frecuencia percibidas por un receptor.
Para no complicar vuestra existencia estudiantil estableceremos que la siguiente fórmula general permite hallar la frecuencia que percibirá el receptor u observador:

Donde :
fo = frecuencia que percibe el observador (también se usa como fr o frecuencia de la señal recibida)
ff = frecuencia real que emite la fuente(también se usa como fe o frecuencia de la señal emitida)
vs = velocidad del sonido (343 m/s)
vo = velocidad del observador (también se usa como vr o velocidad del receptor)
vf = velocidad de la fuente (también se usa como ve o velocidad del emisor)
Debemos fijar la atención en los signos + (más) y – (menos) de la ecuación.  Notemos que en el numerador aparece como ± (más menos) y en el denominadoraparece invertido (menos más). Esta ubicación de signos es muy importante ya que usar uno u otro depende de si el observador se acerca o se aleja de la fuente emisora de sonido.
Importante:
 Si el observador se acerca a la fuente emisora, el signo en el numerador será + (más) y simultáneamente el signo en el denominador será – (menos).
Ahora, si el observador se aleja de la fuente emisora, el signoen el numerador será – (menos) y simultáneamente el signo del denominador será + (más).

Veamos  un ejemplo:


La radio emite un sonido con frecuencia de 440 Hz
El mono (perdón, el receptor u observador) camina hacia la fuente (la radio, fija) con velocidad  de 20 m/s
Pregunta: ¿con qué frecuencia recibe el sonido el receptor?
Analicemos los datos que tenemos:
 fo =  x (desconocida): frecuencia...