Ensayo del metodo de demostraciones

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elaborado por tania heredia -diana palomino- yenny fernanda ochoa

LOS METODOS DE DEMOSTRACION A TRAVES DE LA HISTORIA
EN MATEMATICAS

Así como muchas ciencias las matemáticas tuvieron gran influencia por los griegos quienes creyeron importante aplicar sus conocimientos en esta área ya que se puede afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos Vl y Vllantes de Cristo, pues aunque los egipcios y babilonios ya poseían conocimientos, los que se encargaron de su difusión fueron los griegos. Y qué sería del ser humano sin esta ciencia, la cual nos permite movernos en nuestro mundo desde observar la hora y reconocerla por sus números, desenvolvernos diferenciando el valor de una moneda, un billete y un sinfín de elementos que están conformados pornúmeros, figuras y signos que hacen parte de la matemática y que nos permite llegar a utilizarla no solo en nuestra vida diaria sino aplicarla a la carrera escogida para llegar a ser grandes profesionales. Pero la matemática para llegar a este punto ha tenido la necesidad de ser demostrada, los filósofos griegos fueron los primeros en darse cuenta que un enunciado matemático debería ser demostradomediante deducción lógica a ciertos hechos fundamentales llamados axiomas o postulados, pero hasta entonces las demostraciones matemáticas se habían realizado a partir de la experimentación.

Hoy en día no existe un procedimiento único de demostración de teoremas pero si existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas. Tales demostraciones son: Demostracióndirecta, Demostración Indirecta y Demostración por recursión.

La demostración directa nos habla que cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como consecuencia la tesis, a través de una serie de inferencias; en ella se prueba la validez de una tesis estableciendo que ésta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de ladisciplina correspondiente que para nuestro caso es matemáticas. Una demostración directa de una proposición “t” al que llamaremos teorema consiste en un conjunto de proposiciones p1, p2……. Pn (premisas) que son postulados o proposiciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposición “t” como consecuencia inmediata. Podemos deducir entonces que en una demostracióndirecta, cada paso debe ir acompañado de una explicación que justifique la presencia de ese paso. Decimos que “t” es una consecuencia inmediata de p1, p2,……pn si se produce la implicación: (p1^ p2^ ….^Pn) t. Para mayor brevedad, llamaremos h (hipótesis) al antecedente proposicional anterior.

Por otro lado la demostración indirecta si se tiene dificultades en la construcción de unademostración directa, se puede a veces obtener resultados más importantes y mejores, empleando algunos otros métodos. Cuando se establece validez de una tesis “t” probando, que las consecuencias de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostración indirecta. De aquí concluimos que ésta se basa en el hecho de que si ~t es falsa, entonces t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerloes mostrando que ~t no es compatible con las afirmaciones dadas en la hipótesis.

De otro modo, suponiendo que la proposición ~t es verdadera, consideremos el conjunto formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto así considerado nos lleva a una contradicción, sabemos que la de ~ t no es compatible con nuestra hipótesis (verdadera) y, por tanto,que es falsa. Por consiguiente, t es verdadera. Luego, para demostrar un teorema h t, basta deducir alguna contradicción a partir de la hipótesis h ^~t.

Existen diferentes formas para utilizar el método de demostración indirecta; para demostrar h t podemos explicarlo de la siguiente manera:

a. ~t ~ h

b. (h ^ ~t) ~h

c. (h ^ ~t) ~t

d. (h ^ ~t) (p ^ ~p)...
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