ensayo

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Programación lineal
Álgebra

© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 2º BS. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Introducción
El tema comienza con una introducción a la programación lineal, en la
que se exponen todos los conceptos necesarios, como región factible,
función objetivo, vector director de la función objetivo, rectas de nivel y
solución osoluciones óptimas. Además, al mismo tiempo que se introducen los conceptos, se va resolviendo un problema modelo paso a paso.
En la segunda parte se describe el procedimiento de resolución de problemas de programación lineal bidimensional y se plantean y resuelven
dos problemas, uno en el que la optimización consiste en maximizar
una función y otro en el que la optimización consiste en minimizar unafunción.
En la tercera sección se aborda la cuestión del número de soluciones
de un problema de programación lineal. Por lo general, el problema
tendrá una solución, pero se pueden presentar los casos en que no
tenga solución o tenga varias soluciones; en cada uno de los casos se
resuelve un problema modelo.
La programación lineal tiene aplicación a una gran variedad de problemas. Unsupuesto que puede servir de ejemplo es el siguiente: un comerciante acude al mercado a comprar manzanas para venderlas en
su frutería. Hay dos tipos de manzanas a dos precios distintos y él dispone de una determinada cantidad de dinero y de una limitación de carga para transportar las manzanas a la frutería. Decidir cuántas manzanas de cada clase compra para optimizar el beneficio que saque alvenderlas es un problema que resuelve la programación lineal.

Organiza tus ideas
Programación lineal
resuelve

problemas de optimización

que consisten en

que pueden tener

optimizar una función

• una solución
• ninguna solución
• varias soluciones

en una

región factible
que es

un recinto limitado por inecuaciones

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© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 2º BS.Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Álgebra

1. Introducción a la programación lineal
■ Piensa y calcula
Escribe una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x chaquetas a 30 € e y pantalones a 20 €

1.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una funciónlineal con dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
Ejemplo
Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x+yÌ7 °
§
2x + y Ì 10 §
¢
xÓ0
§
§
yÓ0
£
maximiza en dicho recinto el valor de la función f(x, y) = 30x + 20y
Y

1.2. Función objetivo

2x + y = 10
x+y=7

La función objetivo en un problema de programaciónlineal es la función lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por:
f(x, y) = ax + by

C(0, 7)
B(3, 4)

Ejemplo
X
O(0, 0)

Continuando con el ejemplo anterior, se tiene que la función objetivo es:

A(5, 0)

f(x, y) = 30x + 20y

Restricciones x Ó 0, y Ó 0
Prácticamente en todos los problemas de programación lineal se
exige que las variables x e y sean
mayores oiguales que cero; en estos casos, la región factible se dibuja directamente en el 1er cuadrante.

1.3. Región factible
La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o infinito en el que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntos
del plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.
Ejemplo
Continuando con el ejemploanterior, se obtiene la región factible representada en el margen.

1.4. Vector director de la función objetivo
Y

El vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector:
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v (– b, a)
Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden multiplicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no varía.

8

Ejemplo

v(– 2, 3)

X...