ensayo

  2.6. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
       2.6.1. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 

Método de solución: Usando sustituciones algebraicas apropiadas, se convierten en ecuaciones de variables separables. Una de las más comunes es:


Ejemplo4:
Resolvemos la ecuación diferencial .

Usando

Dividiendo entre .Separando variables::


Integrando:

Como

Entonces:
 2.6.2. Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida 
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo orden.

con las condiciones iniciales

Una ecuación diferencial de segundoorden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.












Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio de nombre de la función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la primera columna,las variables k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función.











2.6.3. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes 












































 2.6.4. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos  2.6.5. Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas y conjugadas) 

3.1.- Caso 1º: P(r) = 0 tiene n raices distintas r1 ,......., rn

Entonces son soluciones de 6 linealmente independientes en  las:


La solución general es:



3.2.- Caso 2º: P(r) = 0tiene k raices distintas r1 ,......., rk con multiplicidades m1 ,......., mk (m1 +......+ mk = n)

Entonces son soluciones de 6 linealmente independientes en  las :




3.3.- Caso 3º: P(r) = 0 tiene raices complejas.


Por cada raíz compleja r =  + i y su conjugada r =  - i , ambas con multiplicidad m, son soluciones linealmente independientes en  las : 2.7. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
                   2.7.1. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 

Son del tipo:
y'' + ay' + by = 0
Este tipo de ecuaciones siempre tiene soluciones de orden exponencial y = emx es solución y m deberá determinarse de la ecuación.
Las respectivas derivadas son: y' = memx y y'' = m2emx
Sustituyéndose en laecuación original:
m2emx+ amemx + b emx = 0 donde emx es distinta de 0.
m2+ am + b = 0 es la ecuación o polinomio característico.
ANÁLISIS DE RAÍCES:
a) Las raíces son reales distintas:
y1 = e(m1)x y y2 = e(m2)x son soluciones parciales.
Como m1 y m2 son distintas, entonces y1 y y2 son linealmente independientes
Y = c1y1 + c2y2
b) Las raíces son reales e iguales m1 = m2:
y1 = e(m1)xy y2 = xe(m1)x (la x reduce la dependencia lineal)
Y = c1e(m1)x + c2xe(m1)x es la solución general.
c) Las raíces son complejas conjugadas:
m1 = a + bi y m2 = a - bi
y1 = e(a + bi)x + c2e(a - bi)x = eax(c1eibx + c2e-ibx)
Y = eax + (c1 cos bx + c1 i sen bx + c2 cos bx - c2 i sen bx)
= eax [(c1 + c2) cos bx + i (c1 - c2) sen bx]
= eax (A cos bx + B sen bx)
d) Las raíces sonimaginarias:
m1 = bi y m2 = -bi
Y = A cos bx + B sen bx
 


2.8. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
                   2.8.1. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas 
Una ecuación diferencial no homogénea la solución general está dada por 

Yg = Yh + Yp

donde Yg significa solución general, Yh es la solución de la ecuación homogénea y Yp es una solución particular. ...