Epistemología del volumen del cono

INSTITUTO DE MATEMÁTICA MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Seminario de Matemática Análisis histórico del concepto Volumen de un cono y una mirada a los niveles intra, inter y trans.

No sólo la investigación de cómo se forman las teorías, sino también la investigación de cómo se organizan los conceptos se vuelve interesante. Es más, en este punto, el el término epistemología me parecepoco adecuado, porque deriva de episteme, es decir conocimiento cierto; quizás sería más adecuado hablar de teoría del conocimiento. Pero ahora, como en tantos otros casos, podemos aceptar un término que se ha afirmado históricamente. Francesco Speranza, Scritti di Epistemologia della Matematica, 1997.[1]

Los conceptos no se han creado en un instante, no se han desarrollado durante algunassemanas y toman su forma definitiva, hay una evolución (involución algunas veces), que les permite pulirse, debatirse, hasta tomar la forma que presta la mejor utilidad o se adapta mejor a las situaciones en que se requiere. El camino que ha recorrido el concepto de volumen de un cono es lo que se presenta a continuación. Antes de comenzar presentamos una breve mirada al objeto matemático en cuestión:Cono: Cuerpo geométrico limitado por una superficie cónica y generado por un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos. Su volumen está dado por: 1 g V = 3 • πr2h Donde h es la altura del cono, r es el radio de la circunferencia que conforma la base del cono, y g es la generatriz (hipotenusa del triángulo girado para generar el cono).

h r

Además para el estudio de volumen esnecesario revisar otros conceptos matemáticos que sirven para dar explicación, es decir, como se llega a dichas fórmulas, y su sustento matemático.

Volúmenes de revolución Entendiendo por volumen de revolución el cuerpo tridimensional generado por un área plana que da vueltas alrededor de un eje (eje de simetría del volumen), se tiene lo siguiente: - Cono de revolución: lo genera el área planaque define un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos.

La curva que barre el área del triángulo sobre el intervalo del eje de abscisas es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si el cono se coloca en la posición de la figura, es la recta que pasa por los puntos (0,R) y (h,0), siendo R el radio del cono y h su altura. Por consiguiente, la ecuación de la curva es: y = −R/ h. Y el volumen viene dado por la integral: Vcono π R2 π R2  1  π R2 1 1  R  = π ∫  − x  dx = 2 ∫ x 2 dx = 2  x 2  = 2 ⋅ h 2 = π R 2 h h  h 0 h 3 0 h 3 3 0 Vcono = 1 2 πR h 3
h 2 h h

Análisis
“Los esquemas1 se desarrollan a través de estados o niveles en un orden concreto Inicialmente, en el desarrollo de un esquema, está en el estado o nivel intra. Éste es seguido por elestado o nivel inter y finalmente por el estado o nivel trans. A veces estos términos son extendidos en orden a reflejar la naturaleza del esquema. Por ejemplo en un esquema geométrico los estados pueden ser referidos como: intrafigural, interfigural y transfigural.”[2] “En Piaget y García (1982, pp. 106-107) se señala que hay mecanismos de pasaje de un periodo histórico del desarrollo de las cienciasal siguiente, y que éstos son análogos a los del pasaje de un estadio psicogenético al siguiente.”[3] El primero de estos mecanismos, afirman, está constituido por un proceso general que caracteriza todo proceso cognoscitivo: consiste en que cada vez que hay un rebasamiento, lo que fue rebasado está de alguna manera incorporado en el rebasante. El segundo mecanismo de pasaje, que hasta ahora nohabía sido estudiado, pero que constituye el tema central de Psicogénesis e historia de la ciencia, es un proceso que también es de naturaleza completamente general: el proceso que conduce de lo intra-objetal (análisis de los objetos) a lo interobjetal (estudio de las relaciones y transformaciones) y de allí a lo trans-objetal (construcción de las estructuras). Es desde esta mirada que se presenta...