error estado estable

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

ERROR EN ESTADO ESTABLE
El error en estado estable, ess, es la diferencia entre la entrada X(s) y la salida Y(s) cuando el sistema
ha alcanzado el régimen permanente, es decir:

E ( s) = X ( s ) − Y ( s)

Considerando un proceso G(s) tal que

G ( s) =

Y ( s)
X ( s)Entonces, el error para un sistema en lazo abierto sería

E ( s ) = [1 − G ( s )]X ( s)

Para el caso de un sistema en lazo cerrado con retroalimentación unitaria donde

Y (s)
G (s)
=
X ( s) 1 + G( s)
El error será

 1 
E ( s) = 
 X (s)
1 + G ( s ) 
Recordando el teorema del valor final

lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞

s →0

Podemos definir al error en estado establecomo sigue

ess = lim e(t ) = lim sE ( s )
t →∞

s→0

Por lo tanto para un sistema en lazo cerrado, el error en estado estable será


1 
ess = lim  s
 X ( s)
s →0
 1 + G( s) 
Tipología de sistemas
Sea una función de transferencia de un sistema de orden n factorizada en el denominador tal que

G(s) =

bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0
s q an s p + an −1s p −1 + L + a1s+ a0

(

)

Donde

n= p+q

y

q = {0,1,2,L, n − p}

Si q=0, entonces se dice que el sistema es tipo cero ya que no contiene integradores (términos 1/s).
Ahora, si q=1, en entonces se dice que el sistema es tipo uno ya que contiene un integrador. Si el
q=2, entonces se dice que el sistema es tipo dos ya que no contiene dos integradores. Veamos unos
ejemplos:
Sea

G( s) =

s+1
s +1
s +1
por lo cual este sistema es tipo 0 a pesar de
= 2
= 0 2
(s + 2)(s + 3) s + 5s + 6 s s + 5s + 6

(

)

ser de segundo orden.
Sea
Profesor: Gerardo Villegas Medina

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

F (s) =

s +1
s +1
= 2 3
Por lo que este sistema es tipo 2 y es de 5° orden.3
2
s + 2s + 6s
s s + 2s + 6
5

(

)

La tipología de los sistemas es importante en la determinación del error en estado estable como
veremos más tarde.
Dado que el error depende, además de la tipología del sistema, del tipo de entrada, es necesario
analizar cada caso. A continuación se presentará el desarrollo de algunos casos de entradas y tipos
para luego resumir de manerageneral.
Caso 1: entrada escalón unitario con sistema tipo 0
El error se determina mediante la siguiente expresión

  1


 1
 1 
1
1
ess = lim  s
X ( s ) = lim  s
 1 + G ( s )  s  = lim 1 + G ( s )  = 1 + lim G ( s )

s →0
 1 + G( s)
 s →0  
  s →0 

s→0
Como G(s) es de tipo cero, es decir que no posee integradores, entonces

lim G ( s ) =
s →0

Kb0
=Kp
a0

Donde Kp es la constante de error de posición y por lo tanto

ess =

1
1+ Kp

Caso 2: entrada escalón unitario con sistema tipo 1
El error se determina mediante la siguiente expresión

  1


 1 
 1
1
1
ess = lim  s
X ( s ) = lim  s
 1 + G ( s )  s  = lim 1 + G ( s )  = 1 + lim G ( s )

s →0
 1 + G( s)
 s →0  
  s →0 

s→0
Como G(s) esde tipo uno, es decir que posee un integrador, entonces

 Kb  Kb
1
lim G ( s ) = lim 0  = 0 lim  = ∞
s →0
s → 0  sa 
s→0 s
 
 0  a0
Por lo tanto

ess = 0
Caso 3: entrada rampa unitaria con sistema tipo 1
El error se determina mediante la siguiente expresión

 




1
1 1
1
1
ess = lim  s
X ( s ) = lim  s
 1 + G ( s )  s 2  = lim  s + sG ( s ) = lim sG ( s )

s →0
 1 + G (s)
 s →0  
  s→0 
 s→0
Como G(s) es de tipo uno, es decir que posee un integrador, entonces

 Kb  Kb
lim sG ( s ) = lim s 0  = 0 = K v
s→0
s → 0  sa 
 0  a0
Donde Kv es la constante del error de velocidad y por lo tanto

ess =

1
Kv

Profesor: Gerardo Villegas Medina

2

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE...