esfuerzos biaxiales
Páginas: 6 (1450 palabras)
Publicado: 28 de abril de 2013
Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y sehallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales senotan como
321
,,
, donde
321
, y en el ángulo de rotación en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como
max
y en el ángulo de rotación alque se da los esfuerzos normales son el promedio delos esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.Los esfuerzos normales principales son los eigenvalores o valores propios del tensor deesfuerzos. En el caso tridimensional, debe resolverse la ecuación
ESFUERZOS PRINCIPALES
Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzosuficientemente grande. Muchas teorías de falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crítico. Resulta entonces necesario determinar los esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo para compararlos con los valores críticos asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo ymínimo en un punto se llama esfuerzos principales.
Expresamos la tensión normal s , en un plano inclinado por x, y, y z, tendremos:
s = xl + ym + zn
Sustituyendo x, y y z, luego de las simplificaciones respectivas escribimos:
s = s xl2 + s ym2 + s zn2 + 2t yzmn + 2t zxnl + 2t xylm
Las coordenadas del punto de intersección de la normal con el plano inclinado son: x = rl y = rm z = rn
donde r esel radio vector que une el origen de coordenadas con el punto de intersección arriba indicado.
Eliminando los cosenos directores tenemos:
s r2 = s xx2 + s yy2 + s zz2 + 2t yzyz + 2t zxzx + 2t xyxy = k
donde: r2 = k / ½ s ½
de la geometría analítica se sabe que girando el sistema de coordenadas ésta ecuación puede transformarse de tal manera que desaparecen los tres últimos términos.
Estosejes así definidos se denominan ejes principales (donde t xy, t yz, t zx son iguales a cero) y las tensiones normales que aparecen en estos planos, tensiones principales, son denominadas por s 3, s 2 y s 1, siendo s 3 s 2 s 1.
El sistema de fuerzas aplicado en el punto se simplifica, las ecuaciones antes deducidas quedan reducidas en:
x = s 1l y = s 2m z = s 3n
como: l2 + m2 + n2 =1resulta: x2/s 12 + y2/s 22 + z2/s 32 = 1
El lugar geométrico de los extremos del vector de la tensión completa forma un elipsoide, llamado elipsoide de tensiones, cuyos semiejes son las tensiones principales s1, s2, s3.
Las tensiones principales se pueden determinar a partir de las seis componentes del estado tensional; para ello, supongamos
que el plano indicado, es un plano principal; entoncessi (S) es la tensión total en este plano tenemos:
x = sl y = sm z = sn
o x2 + y2 + z2 = s2
y sl = s xl + t yxm + t zxn
sm = t xyl + s ym + t zyn
sn = t xzl + t yzm + s zn
ó (s x-s)l + t yxm + t zxn = 0
t xyl + (s y-s)m + t zyn = 0
t xzl + t yzm + (s z-s)n = 0 se puede considerar como un sistema de ecuaciones respecto a las incógnitas l, m, n; que determinan la dirección del plano principalrespecto a los ejes de referencia x, y y z. Debe verificarse la condición:
l2 + m2 + n2 = 1
Para que el sistema de ecuaciones homogénea tenga solución y sea diferente de cero, es necesario que la determinante del sistema sea igual a cero.
s x-s t yx t zx
t xy (s y-s) t zy = 0
t xz t yz (s z-s)
resolviendo y ordenando, obtenemos:
s3 – s2I1 + sI2 - I3 = 0
siendo: I1 = s x + s y + s zI2 = s ys z + s zs x +s xs y - t 2yz - t 2zx - t 2xy
I3 = s x t yx t zx
t xy s y t zy
t xz t yz s z
Las raíces de la ecuación nos dan las tensiones principales s 1, s 2 y s 3.
• Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que...
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, donde
321
, y en el ángulo de rotación en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como
max
y en el ángulo de rotación alque se da los esfuerzos normales son el promedio delos esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.Los esfuerzos normales principales son los eigenvalores o valores propios del tensor deesfuerzos. En el caso tridimensional, debe resolverse la ecuación
ESFUERZOS PRINCIPALES
Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzosuficientemente grande. Muchas teorías de falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crítico. Resulta entonces necesario determinar los esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo para compararlos con los valores críticos asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo ymínimo en un punto se llama esfuerzos principales.
Expresamos la tensión normal s , en un plano inclinado por x, y, y z, tendremos:
s = xl + ym + zn
Sustituyendo x, y y z, luego de las simplificaciones respectivas escribimos:
s = s xl2 + s ym2 + s zn2 + 2t yzmn + 2t zxnl + 2t xylm
Las coordenadas del punto de intersección de la normal con el plano inclinado son: x = rl y = rm z = rn
donde r esel radio vector que une el origen de coordenadas con el punto de intersección arriba indicado.
Eliminando los cosenos directores tenemos:
s r2 = s xx2 + s yy2 + s zz2 + 2t yzyz + 2t zxzx + 2t xyxy = k
donde: r2 = k / ½ s ½
de la geometría analítica se sabe que girando el sistema de coordenadas ésta ecuación puede transformarse de tal manera que desaparecen los tres últimos términos.
Estosejes así definidos se denominan ejes principales (donde t xy, t yz, t zx son iguales a cero) y las tensiones normales que aparecen en estos planos, tensiones principales, son denominadas por s 3, s 2 y s 1, siendo s 3 s 2 s 1.
El sistema de fuerzas aplicado en el punto se simplifica, las ecuaciones antes deducidas quedan reducidas en:
x = s 1l y = s 2m z = s 3n
como: l2 + m2 + n2 =1resulta: x2/s 12 + y2/s 22 + z2/s 32 = 1
El lugar geométrico de los extremos del vector de la tensión completa forma un elipsoide, llamado elipsoide de tensiones, cuyos semiejes son las tensiones principales s1, s2, s3.
Las tensiones principales se pueden determinar a partir de las seis componentes del estado tensional; para ello, supongamos
que el plano indicado, es un plano principal; entoncessi (S) es la tensión total en este plano tenemos:
x = sl y = sm z = sn
o x2 + y2 + z2 = s2
y sl = s xl + t yxm + t zxn
sm = t xyl + s ym + t zyn
sn = t xzl + t yzm + s zn
ó (s x-s)l + t yxm + t zxn = 0
t xyl + (s y-s)m + t zyn = 0
t xzl + t yzm + (s z-s)n = 0 se puede considerar como un sistema de ecuaciones respecto a las incógnitas l, m, n; que determinan la dirección del plano principalrespecto a los ejes de referencia x, y y z. Debe verificarse la condición:
l2 + m2 + n2 = 1
Para que el sistema de ecuaciones homogénea tenga solución y sea diferente de cero, es necesario que la determinante del sistema sea igual a cero.
s x-s t yx t zx
t xy (s y-s) t zy = 0
t xz t yz (s z-s)
resolviendo y ordenando, obtenemos:
s3 – s2I1 + sI2 - I3 = 0
siendo: I1 = s x + s y + s zI2 = s ys z + s zs x +s xs y - t 2yz - t 2zx - t 2xy
I3 = s x t yx t zx
t xy s y t zy
t xz t yz s z
Las raíces de la ecuación nos dan las tensiones principales s 1, s 2 y s 3.
• Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que...
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