esopacio de estados

4 Control en el espacio de estado
4.1

Controlabilidad

Existen dos conceptos fundamentales de los sistemas de control: la
controlabilidad y la observabilidad. La controlabilidad se ocupa del problema de
poder dirigir un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario y la
observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema
dinámico a partir deobservaciones de los vectores de salida y de control en un
número finito de periodos de muestreo.
Los conceptos de observabilidad y controlabilidad fueron introducidos por
R.E. Kalman. Estos tienen un papel importante en los sistemas de control
multivariables, de hecho a partir de ellos se hace posible obtener una solución
completa a un problema de control óptimo.
El concepto de controlabilidad es labase para solucionar el problema de la
ubicación de polos y el concepto de la observabilidad juega un papel importante
para el diseño de los observadores de estados.
Así, si el sistema es de estado completamente controlable, entonces es
posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados en el plano z (o las raíces de
la ecuación característica) y se podrá diseñar el sistema queproporcione estos polos
en lazo cerrado.
Definición de controlabilidad
Un sistema es controlable si cada variable de estado del proceso se puede
controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún
control no restringido u(t). Por lo tanto el concepto de controlabilidad trata de la
existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue
aalgún estado arbitrario.
En forma intuitiva, un sistema de control es controlable si todas las variables
de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de
control no restringida. Así, si cualquiera de las variables de estado es independiente
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Ing. Eduardo Interiano

de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y,
por lo tanto, el sistema es no controlable.
4.1.1 Controlabilidad completa de estado para un sistema de control en
tiempo continuo lineal e invariante en el tiempo.
Considere el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito con las
siguientes ecuaciones:

&
x =Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )

(4.1)

donde:
x(t): vector de estado de n x 1
u(t): vector de entrada de r x 1
y(t): vector de salida de p x 1.
A, B, C, D: son los coeficientes de las dimensiones apropiadas.
Se dice que el estado x(t) es controlable en t = to si existe una entrada
continua por intervalos u(t) que moverá el estado a cualquier estado final x(tf) en un
tiempofinito (tf - to) ≥ 0.
Si cada estado x(to) del sistema es controlable en un intervalo de tiempo
finito, se dice que es un sistema de estado completamente controlable o
simplemente controlable.
Condiciones para la controlabilidad de estado
Para que el sistema descrito por la ecuación (4.1) sea de estado
completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz decontrolabilidad de n x nr tenga rango n:

M = [B AB A 2 B ⋅ ⋅ ⋅ A n -1B]

(4.2)

Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas veces se dice que el
par [A, B] es controlable, lo que implica que M es de rango n.
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Ing. Eduardo Interiano

Aunque este criterioes bastante directo, no es muy sencillo emplearlo en
forma manual para sistemas de orden superior o sistemas con muchas entradas. Si
M no es cuadrada, se puede formar la matriz MM’, que es de n x n; entonces si
MM’ es no singular M tiene rango n.
Existen otros métodos alternos para probar la controlabilidad entre los cuales
encontramos:
• Para un sistema SISO descrito por la ecuación...