ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Páginas: 4 (772 palabras)
Publicado: 23 de septiembre de 2014
TEMA 4. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.
Un espacio complejo V se llama espacio vectorial con producto interno si para cada , aordenado u y v en V existe un número complejo único (u,v) llamadoproducto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y a ᵋ c, entonces:
1) (u,u) ≤ 0
2) (u,v) = 0 v=0
3) (u,v+w) = (u,v) + (v,w)
4) (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
5) (v.u) = (v,u)
6) (av.u) = a(u,v)
7) (v.au) = a(u,v)
La barra en las condiciones 5 y 7 denotan el conjugado complejo; además si (v,u) es real, entonces (v,u) = (v,u) y se puede eliminar la barra en (v).
4.1.1 ESPACIOSEUCLIDEOS, REALES Y COMPLEJOS, COMO CASOS PARTICULARES DE LOS ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.
ESPACIO EUCLIDEO
En este tema se trata de llevar conceptos geométricos como ortogonalidad, ángulo, longitud,distancias, áreas, etc, a un contexto más apegado al tema de los espacios vectoriales.
Aquí todas las nociones antes mencionadas, se pueden obtener al introducir un producto escalar.
La GeometríaEuclidea se desarrolla en los siglos XIX y XX tras la aparición del concepto de espacio vectorial. Recibe su nombre en honor a Euclides, matemático griego (῀300 A.C) quien estudio los conceptos básicosde la geometría plana, aunque no en un contexto vectorial.
Para generalizar esos conceptos observamos el comportamiento de los vectores en el plano. En lR² tenemos definido el producto escalar usual:( a₁ , a₂) . ( b₁ , b₂ ) = ( a₁ , b₁ ) + ( a₂ , b₂)
Es una operación entre dos vectores cuyo resultado es un escalar. El producto escalar permite reconocer a los vectores ortogonales (ángulorecto): dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR EUCLIDEO “USUAL”
1.- CONMUTATIVA: u.v = v.u
2.- DISTRIBUTIVA: u . ( v + w ) = u . v + u . w
3.-REUBICACION DEL ESCALAR: a (u.v) = (a.u) . v = u . (a.v)
4.- DEFINIDA POSITIVA: v.v ≥ 0 y se da igualdad u.v=0 el vector v = 0.
PRODUCTO ESCALAR EN CUALQUIER ESPACIO, LLAMADO ESPACIO...
Un espacio complejo V se llama espacio vectorial con producto interno si para cada , aordenado u y v en V existe un número complejo único (u,v) llamadoproducto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y a ᵋ c, entonces:
1) (u,u) ≤ 0
2) (u,v) = 0 v=0
3) (u,v+w) = (u,v) + (v,w)
4) (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
5) (v.u) = (v,u)
6) (av.u) = a(u,v)
7) (v.au) = a(u,v)
La barra en las condiciones 5 y 7 denotan el conjugado complejo; además si (v,u) es real, entonces (v,u) = (v,u) y se puede eliminar la barra en (v).
4.1.1 ESPACIOSEUCLIDEOS, REALES Y COMPLEJOS, COMO CASOS PARTICULARES DE LOS ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.
ESPACIO EUCLIDEO
En este tema se trata de llevar conceptos geométricos como ortogonalidad, ángulo, longitud,distancias, áreas, etc, a un contexto más apegado al tema de los espacios vectoriales.
Aquí todas las nociones antes mencionadas, se pueden obtener al introducir un producto escalar.
La GeometríaEuclidea se desarrolla en los siglos XIX y XX tras la aparición del concepto de espacio vectorial. Recibe su nombre en honor a Euclides, matemático griego (῀300 A.C) quien estudio los conceptos básicosde la geometría plana, aunque no en un contexto vectorial.
Para generalizar esos conceptos observamos el comportamiento de los vectores en el plano. En lR² tenemos definido el producto escalar usual:( a₁ , a₂) . ( b₁ , b₂ ) = ( a₁ , b₁ ) + ( a₂ , b₂)
Es una operación entre dos vectores cuyo resultado es un escalar. El producto escalar permite reconocer a los vectores ortogonales (ángulorecto): dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR EUCLIDEO “USUAL”
1.- CONMUTATIVA: u.v = v.u
2.- DISTRIBUTIVA: u . ( v + w ) = u . v + u . w
3.-REUBICACION DEL ESCALAR: a (u.v) = (a.u) . v = u . (a.v)
4.- DEFINIDA POSITIVA: v.v ≥ 0 y se da igualdad u.v=0 el vector v = 0.
PRODUCTO ESCALAR EN CUALQUIER ESPACIO, LLAMADO ESPACIO...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.