Espacios Vectoriales Y Aplicaciones Lineales

ESPACIOS VECTORIALES.
APLICACIONES LINEALES

I.1

Espacio vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

I.2

Subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3

I.3

Bases. Dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4

I.4

Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9

I.5

Producto escalar en ún . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12

I.6

Ortogonalidad. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1.15

I.7

Aplicación lineal. Matriz asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17

I.0

INTRODUCCIÓN
En estudios anteriores se ha trabajado con los conjuntos ú2 (vectores en el plano) y

ú3 (vectores en el espacio) y es conocido que si se suman dos vectores o si se multiplica un
vector por un número real se obtiene otrovector; presentando estas operaciones una serie de
propiedades, que dotan a los conjuntos ú2 y ú3 de una estructura de espacios vectoriales.
Ahora vamos a generalizar este modelo al de los espacios vectoriales abstractos que incluye a
esos dos como ejemplos, pero en el que podemos incluir muchos más como las matrices o las
funciones reales. Se obtiene una gran ventaja al proceder así, puestoque cualquier resultado
que se establezca para espacios vectoriales en general, se podrá aplicar a todo espacio
vectorial, sin que en la mayoría de los casos resulte más difícil demostrar estos resultados en
el caso abstracto que en cada uno de los espacios vectoriales concretos. Posteriormente
definiremos entre este tipo de conjuntos unas aplicaciones que conservan la estructura de
espaciovectorial: las

aplicaciones

lineales

entre

espacios vectoriales y finalmente

mostraremos que resulta sencillo trabajar con este tipo de aplicaciones porque se puede
establecer una equivalencia entre ellas y las matrices.

Tema I.

I.1

1.1

Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales

ESPACIO VECTORIAL

Definición.

Un espacio vectorial real V es un conjunto deobjetos, denominados
vectores, junto con dos operaciones:

(I) Una operación interna en V que a cada par de vectores u, v 0 V les hace corresponder
PP
otro vector de V: suma de vectores, que denotaremos por u % v , y que satisface las
PP
siguientes propiedades:
(I.1) (u % v) % w ' u % (v % w), œ u, v, w 0 V
PP
P
P
P
P
PPP
(I.2) u % v ' v % u,
PPPP

(asociatividad)

œ u, v 0 V
PP(conmutatividad)

(I.3) Existe P 0 V tal que: u % P ' u, œ u 0 V
0
P0
P
P

(elemento neutro)

(I.4) Para cada u 0 V existe &u 0 V tal que: u % (&u) ' P (el. opuesto)
P
P
P
P
0
(II) Una operación externa que a cada vector u 0 V y a cada número real (escalar) λ 0 ú
P
les hace corresponder otro vector de V: producto por un escalar , que denotaremos por λ u ,
P
y que satisface lassiguientes propiedades:
(II.1) λ (u % v) ' λ u % λ v,
PP
P
P

œ u, v 0 V,
PP

œλ0ú

(II.2) (λ %

œ u 0 V,
P

œ λ,

0ú

(II.3) λ ( u) ' (λ ) u,
P
P

œ u 0 V,
P

œ λ,

0ú

(II.4) 1 u ' u,
PP

(elemento identidad de ú).

)u ' λu %
P
P

u,
P

œu0V
P

Ejemplos.
1.

En

ún ' {(u1, u2, ... , un) / u i 0 ú, para todo i ' 1, ... , n}

se

definenlas

operaciones:
u % v ' (u1, u2, ... , un) % (v1, v2, ... , v n) ' (u1 % v1, u2 % v2, ... , un % v n)
PP
λ u ' λ (u1, u2, ... , un) ' (λ u1, λ u2, ... , λ u n)
P
y con dichas operaciones el conjunto ún tiene estructura de espacio vectorial sobre ú .
Para n ' 2 se tiene el espacio vectorial ú2 que usualmente se representa en el plano
OXY, y para n ' 3 se tiene el espacio vectorial ú3...