Esperanza Matematica

ESPERANZA MATEMATICA
En ocasiones anteriores, sólo ha interesado las caracterísicas de las muestras, representadas por los estadígrafos muestrales, lo cual quiere decir que las medidas estadíticas o descripciones obtenidas se logran a partir de datos recolectados de las muestras obtenidas de poblaciones. Se considerará ahora la media de todo el espacio muestral o conjunto universal, que sesuele llamar media de la población y se designa con la letra griega µ (mu), también conocida como parámetro de la población.
Si hay un número finito de de situaciones posibles de una situación dada, estoes, si la población es finita, entonces la definición de la media de la población es:
Xbarra = i=1Nfi*Xin
solo que se reemplaza el tamaño de la muestra por el tamañode la población. Pero si lapoblación es infinita, la suma de las observaciones posibles divididas por infinito nose puede utilizar evidentemente para expresar la media de la población; debe utilizarse algún otro procedimiento para definir la media µ de la población. La respuesta es considerar la µ de la población como el valor esperado o esperanza de una variable aleatoria, (hecho por el cual es muy utilizada tanto en elcálculo de medias, varianza endistribuciones de probabilidades como en el cálculo de beneficios en juegos de azar o aleatorios).
ESPERANZA PARA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Una distribución de probabilidades es la distribución teórica de una variable aleatoria. La distribución de probabilidades para una población es análoga a la distribución de frecuencias relativas obtenidas para una muestra.Suponiendo que una variable aleatoria discreta X puede tomar los valores X1, X2, ….., Xk con probabilidades correspondientes p1, p2, …., pk, (donde la sumatoria de las probabilidades es iguala 1 o p1 + p2 + …..+ pk = 1), se define el valor esperado de X o la esperanza matemática de X (o simplemente esperanza de X) como E(X), y se expresa matemáricamente
E(X) = p1X1 + p2X2 + ….. + pkXk = i=1NpKXK = Ʃ pX
Es decir, que el valor esperado de la variable aleatoria discreta X es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles de X multiplicados por sus respectivas probablidades, sied este valor igual a l amedia de la población de X o µ.
Supóngase que que se emplee X para designar las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Si se realiza una selección aleatoria o muestreo al azar deestos números, entonces todos los 10 números tendrán una misma probablidad de 0,1 de ser elegidos, por lo que de 1000 elecciones o extracciones, a cada uno le corresponden 100 extracciones, por lo que la tabla de distribución de probabilidades sería:

Tabla de distribución de probabilidades
X | Frecuencia (FAS) | P(X) fracción (FRS) | P(x) decimales |
0 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
1| 100 | 100/1000 | 0,1 |
2 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
3 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
4 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
5 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
6 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
7 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
8 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
9 | 100 | 100/1000 | 0,1 |
Suma | 1000 | 1000/1000 | 1 |

E(X) = p1X1 + p2X2 + ….. + pkXk =
= 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,1)+….. +9(0,1) = 4,5
El promedio o media de los números sacados en este experimento es de 4,5.
Si las probabilidades pj en esa expresión se sustituyen por las frecuencias relativas fj/N, donde N = Ʃfj ,la esperanza matemática se reduce a (Ʃf*X)/N que es la media artimética Xbarra de una muestra de tamaño N en la que X1, X2, ……, Xk aparecen con estas frecuencias relativas. Al crecer N más y más,las frecuencias relativas se acercan a las probabilidades pj. Asi que nos vemos abocados a interpretar E(X) como la media de la población cuyo muestreo se consideraba realizar. Si llamamos m a la media muestral, podemos denotar la media poblacional con la correspondiente letra griega µ (mu).
A fin de estudiar otros parámetros poblacionales, podemos realizar el cálculo de nesimo o r-esimo...