ESTABILIDAD ENTRADASALIDA DE SISTEMAS LE

Teoría de Sistemas y Señales

Estabilidad Entrada-Salida de
Sistemas LE
Autor: Dr. Juan Carlos Gómez

Estabilidad de Sistemas Lineales Estacionarios
BIBO Estabilidad
BIBO: Bounded Input –Bounded Output
(Entrada Acotada – Salida Acotada)
• Definición: un sistema es BIBO estable si para
toda entrada acotada la correspondiente salida es
acotada.
• Para SLE existe una condiciónnecesaria y
suficiente sobre la respuesta al impulso que
garantiza la BIBO estabilidad.
• Consideraremos separadamente sistemas en tiempo
continuo y sistemas en tiempo discreto.
TeSyS

J. C. Gómez

21. Sistemas en Tiempo Continuo:
Teorema: La condición necesaria y suficiente
para que un SLE caracterizado por su respuesta
al impulso h(t) sea BIBO estable es:
∞
(1)
∫ h(t) dt < ∞
−∞(respuesta al impulso absolutamente integrable)

TeSyS

Prueba: La respuesta del sistema a una entrada
arbitraria viene dada por:
∞
y(t) = ∫ u(t - τ ) h( τ )dτ
− ∞Gómez
J. C.
3

Se tieneentonces que:
∞
∞
y(t) = ∫ u(t - τ ) h( τ )dτ ≤ ∫ u(t - τ ) h( τ ) dτ
−∞
−∞

Si la entrada es acotada entonces

u(t - τ ) ≤ M < ∞
y resulta

∞
y(t) ≤ M ∫ h( τ ) dτ
−∞
Luego, la salida esacotada siempre que
∞
∫ h( τ ) dτ < ∞
−∞
TeSyS

J. C. Gómez

4

Esto prueba que (1) es una condición suficiente.
Para probar que (1) es también una condición
necesaria consideremos laentrada acotada
si h( τ ) > 0
 1

u(t - τ ) =  0
si h(τ ) = 0
Para esto caso

− 1


si

h(τ ) < 0

∞
∞
y (t ) = ∫ h( τ ) dτ = ∫ h( τ ) dτ
−∞
−∞
y la salida será entonces no acotadasi no se
verifica (1). Concluimos que (1) es también una
condición necesaria para la BIBO estabilidad
del sistema.
TeSyS

J. C. Gómez

Ejemplo 1:

C=

i(t)
u(t)

C

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q(t)
⇒ q(t)= Cu(t)
u(t)
t

1
i(t) = Cu ′(t) ⇒ u (t ) = ∫ i (τ )dτ
C0
i(t) : entrada
u(t) : salida

La respuesta al impulso se obtiene para i(t)=δ(t),
y resulta u(t)=h(t)=µ(t)/C. Luego
∞
1∞
∫ h(...