Estadística Descriptiba

Probabilidades 1

Capítulo 1. Probabilidades
1.1 Modelos matemáticos
La aplicación de las matemáticas para describir el universo es una práctica que ha dado muy buenos resultados durante siglos. Las matemáticas conforman un lenguaje completamente lógico que puede aplicarse a la descripción de la naturaleza porque los sucesos y los objetos de la naturaleza tienen propiedades que ofrecen unparalelo suficiente a las matemáticas. Aunque la descripción de la naturaleza en términos matemáticos nunca es completamente exacta, hay suficiente concordancia entre las formas de la naturaleza y las de la expresión matemática para que la descripción sea aceptable. La aproximación es a menudo tan grande que una vez que se ha aplicado la descripción matemática, se puede proseguir con esa lógicamatemática para hacer deducciones que también se apliquen a la naturaleza.
1.1.1 Definiciones:

Se denomina experimento a la reproducción controlada de un fenómeno cualquiera que ocurre en la naturaleza. Un modelo matemático se emplea para describir un fenómeno que ocurre en la naturaleza, y puede ser: determinístico o no determinístico. Un modelo es determinístico cuando las condiciones bajo lascuales se verifica el experimento determinan su resultado. Por ejemplo: si se deja caer un cuerpo en el vacío, desde una altura h, hasta el piso, la velocidad que alcanza es:

v = 2 gh
Este modelo determina la velocidad con que el cuerpo cae al piso todas las veces que se repita el experimento, si se repiten las mismas condiciones del experimento. Un modelo es no determinístico o probabilísticocuando las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento no determinan su resultado. Según el fenómeno que se estudie, es posible determinar un modelo. Por ejemplo: si se quiere saber cuántos autos llegan a una gasolinera entre las 7 y las 8 a.m.; con base en datos históricos se puede diseñar un modelo que dé un resultado aproximado con cierto grado de confiabilidad. La forma de diseñareste modelo se verá en el capítulo 4. Se sabrá, por ejemplo, qué tan probable es que no llegue ningún vehículo, que lleguen menos de 5 vehículos, que lleguen entre 6 y 10 vehículos, o que lleguen entre 11 y 15 vehículos, etc. A diferencia del experimento anterior, no es posible mantener las mismas condiciones del experimento, pues no están al alcance del que investiga.
1.1.2 Características de unfenómeno probabilístico:

• Sin cambiar las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento, se pueden obtener distintos resultados. • Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles. • Inicialmente los resultados parecen ocurrir en forma caprichosa; pero cuando el experimento se repite muchas veces, aparece un modelo definido de regularidad que hace posible la construcciónde un modelo matemático preciso, con el cual se puede analizar el fenómeno.

2

Probabilidades

1.2 Permutaciones y combinaciones
Para calcular ciertas probabilidades es necesario calcular permutaciones y combinaciones. Para un mejor entendimiento de estas definiciones se emplean ejemplos sencillos, muchos de los cuales tienen relación con los juegos de azar, aunque puedan resultar pocoútiles para efectos prácticos. Una permutación es un arreglo, en un determinado orden, de un conjunto de elementos. Por ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes permutaciones de dos letras: ab, ba, ac, ca, bc, cb,..., xy, yx, yz, zy. Una combinación es un arreglo, sin que importe el orden, de un conjunto de elementos. Por ejemplo, con las letras del abecedario se puedenformar las siguientes combinaciones de tres letras: abc, abd, abe,..., bcd, bce, bcf,..., cde,..., xyz.
1.2.1 Teoremas relativos a permutaciones y combinaciones

TEOREMA 1: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, es:

P( N , r ) =

N! ( N − r )!

Se demuestra este teorema de la siguiente manera: para escoger el...