Estadística - variables aleatorias unidimensionales

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TEMA 3: VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

1. CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

El modelo matemático que explica el comportamiento de los resultados de los experimentos aleatorios estácompuesto por tres elementos (E,Ω,P): E es el espacio muestral, Ω es el espacio de los sucesos y P es la función que atribuye probabilidades a los sucesos de Ω, y que toma valores en el intervalo [0; 1]. Loselementos que integran E pueden ser cualesquiera, conduciendo en muchas ocasiones a dificultar su tratamiento matemático.

Para resolver este problema se recurre a la asignación de números a loselementos de E, de tal forma que si, por ejemplo, el experimento aleatorio consiste en arrojar una monda, estando integrado el espacio E por los sucesos elementales cara y cruz, hacemos {cara}=1 y{cruz}=0; o si arrojamos la moneda 10 veces y el resultado es c++cc+c+++, para muchos fines es más importante saber que el número de caras ha sido cuatro que conocer, además, la secuencia exacta con que hanid apareciendo los resultados parciales. En los dos ejemplos se han asignado valores numéricos a los sucesos, con lo cual el manejo matemático es más sencillo.

Para llevar a cabo lastransformaciones de sucesos en números reales se introduce el concepto de variable aleatoria, que podemos definir de modo no formal que «es una cantidad variable cuyos valores dependen del azar y para la cualexiste una distribución de probabilidad». Expresado de otra forma, es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

E = experimentoaleatorio (Ω,σ,P)

Variable aleatoria x: Ω -> R
w ⇝ x(w)
x^-1 (I)⇜I

∀I∈R, el conjunto x∈I es un suceso x∈I =w∈Ω x(w)∈I}= x-1(I)

En muchas ocasiones encontraremosfunciones de una o varias variables aleatorias, por lo cual es fundamental saber que una función real de una o varias variables aleatorias es, a su vez, variable aleatoria. En particular, si ξ y η...
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