Estadistica Cuantica

Capítulo 3 EL FORMALISMO DE LA MECÁNICA ESTADÍSTICA CUÁNTICA
3.1 Elementos de mecánica cuántica

coordenadas de partículas o bien representan otro conjunto de magnitudes simultáneamente medibles del sistema. La evolución del estado 3.1 con el tiempo, está gobernada por la ecuación de Schrödinger @ª = Hbª ; i~ @t (3.2)

Recordamos algunas nociones básicas de mecánica cuántica, comopreliminares al formalismo de la teoría estadística cuántica y la versión cuántica de la ecuación de Liouville. En mecánica cuántica el estado del sistema se describe mediante una función de onda ! ! ! ª = ª (¡x 1 ; ¡x 2 ;:::; ¡x N ;t); (3.1) ! ! ! que a menudo se indicará brevemente con ª (x ;t). Aquí x = (¡x ; ¡x ;:::; ¡x ) son
1 2 N

donde el hamiltoniano, Hb, es un operador hermitiano que actúa sobreª (x ;t). En un sistema de N partículas de la misma especie, con masa m y sin grados internos de libertad, las cuales interactúan de a pares mediante un potencial Á que depende sólo de la distancia entre partículas, el operador hamiltoniano se escribe como N 2 X 1X ! ! b= ¡ ~ H r 2+ Á (j¡x j ¡ ¡x k j) ; (3.3) 2 m j= 1 j 2 j6 k = donde r
2 j

=

3 X

®= 1

@2 ; (@ x ® )2 j

(3.4)

esel laplaciano con las coordenadas de la partícula j. La ecuación de Schrödinger es determinista y permite obtener ª en cualquier instante t > 0 , cuando ª es un dato en t = 0 . Por ejemplo, en un sistema aislado, en el cual Hb no depende explícitamente del tiempo, podemos escribir una solución formal de 3.2, de un modo similar al comentado en el cap.1 II parte, como ª (x ;t) = ex p ( 1 b H t)ª (x;0 ); i~ (3.5)

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donde 1 b 1 1 H t+ ex p ( Hbt) = 1 + i~ i~ 2

define sus autofunciones, ' n y sus autovalores, a n . El conjunto de los autovalores a 1 ;a 2 ;:::;a n ;:::, son los posibles valores que puede asumir la variable dinámica representada por Ab en el curso de una medición. Como es sabido, los autovalores de operadores hermitianos sonnecesariamente números reales.. Cuando Hb no depende del tiempo, los estados con energía definida corresponden a ondas estacionarias del tipo 1 ª (x ;t) = ex p ( E t)à (x ); (3.8) i~ en las cuales la amplitud, à (x ), independiente del tiempo, satisface la ecuación de autovalores Hbà = E à ; (3.9) de modo que, en general, existe una secuencia de autovalores, E 1 ;E 2 ;:::;E n ;:::, del operador Hb, querepresenta la energía, con sus correspondientes autofunciones à n (x ), n = 1 ;2 ;:::. Cuando se especifica el estado de un sistema mediante la función de onda ª , no se garantiza un conocimiento preciso de observables tales como Ab Generalmente, . los valores posibles de Ab a 1 ;a 2 ;:::;a n ;:::, tienen distintas probabilidades de ocurrir. , La función de onda ª nos informa acerca del valor medio delobservable Abmediante la expresión ³ ´ b : A = ª ;A ª (3.10)

es una función del operador Hb, definida por una serie de potencias de Hb. En mecánica cuántica las variables dinámicas de un sistema son operadores lineales y hermitianos, que actúan sobre el espacio de las funciones de onda. El espectro de estos operadores determina cuales son los valores observables de las magnitudes físicas querepresentan. Si Ab es un operador asociado a una magnitud física observable, la ecuación Ab n = a n ' n ; ' (3.7)

µ ¶2 1 Hb2 t2 + :::; i~

(3.6)

El paréntesis representa el producto escalar de dos funciones, como ª y © , que pertenecen a un espacio de Hilbert, Z (3.11) (ª ;© ) = ª ¤(x )© (x )d x ;

! ! ! expresión en la cual x es la notación abreviada para ¡x 1 ; ¡x 2 ;:::; ¡x N , como yase dijo y d x = d 3 x 1 d 3 x 2 :::d 3 x N es el elemento de volumen en un espacio de configuración de 3 N dimensiones. Al escribir la fórmula 3.10 estamos suponiendo que la función ª está normalizada, o sea Z (ª ;ª ) = ª ¤(x )ª (x )d x = 1 (3.12)

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La función de onda ª (x ) depende también del tiempo, pero cuando no resulta indispensable omitimos ese...