Estadistica inferencial

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Apuntes Estad´ ıstica II
Ing. Juan Gerardo Galindo Morales Parte 3

Para mediados del siglo XVII en Europa, los juegos de azar eran frecuentes, aunque sin mayores restricciones legales. El febril jugador De M´r´ consult´ al famoso matem´tico y filosofo ee o a Blaise Pascal (1623-1662) para que le revelara las leyes que controlan el juego de los dados, el cual, interesado en el tema, sostuvo unacorrespondencia epistolar con el t´ ımido Pierre de Fermat (1601-1665, funcionario p´blico apasionado por las matem´ticas; c´lebre porque no publicaba u a e sus hallazgos) dando origen a la teor´ de la probabilidad, la cual se ha venido desarrollando y ıa constituy´ndose en la base primordial de una gran cantidad de diciplinas. e El objetivo de este apartado es brindar una breve introducci´n a lateor´ de la probabilidad, o ıa comenzando por enunciarla de manera axiom´tica y siguiendo hasta la probabilidad condicionaa da. En primera instancia diremos que un evento cualquiera, puede ser deterministico o aleatorio. Un evento se dice deterministico si se conoce exactamente su resultado, por ejemplo es deterministico el hecho de que a cualquier ser vivo le sobreviene la muerte en algunmomento, mientras que el momento exacto en que un ser vivo muere es un evento aleatorio ya que no es podible determinar ese momento exacto. La probabilidad se encarga del estudio de los eventos aleatorios a los que de ahora en aldelante les llamaremos simplemente experimentos. La probabilidad se puede entender como un n´ero que u expresa el grado de certeza de obtener cierto resultado (llamado ´xito) alrealizar un experimento. e Este n´mero puede en ciertas ocaciones obtenerse de forma deductiva, por ejemplo, con un dado u perfecto se observa que cualquiera de sus lados tienen la misma posibilidad de aparecer al ser lanzado. As´ la posibilidad de sacar un 4 es de una entre seis posibilidades o, en otras palabras, ı la probabilidad de sacar un 4 es de 1/6. Aunque el resultado espec´ ıfico decualquier lanzamiento es imposible de determinar, se puede determinar un comportamiento a largo plazo. Existen dos maneras de determinar la probabilidad p de que un cierto resultado (llamado suceso) E sea obtenido al realizar un experimento: (a) Definici´n cl´sica: Supongamos que un suceso E puede ocurrir de s maneras de u8n total o a de n posibilidades iguales. Entonces p = s/n. (b) Definici´nfrecuentista: Supongamos que despues de n repeticiones, un suceso E ocurre s o veces. Entonces la frcuencia relativa s/n coincide con p cuando n tiende a infinito, es decir: s p = l´ ım . n→∞ n 1

Estas definiciones se pieden clarificar con el siguiente ejemplo: Si el experimento consiste en tirar un dado y observar que n´mero se obtiene. Segun la definici´n cl´sica el evento solo puede u o a ocurrir deuna manera, es decir, s´lo podemos ver un n´mero a la vez y dado que el total de o u posibilidades es 6, entonces la probabilidad de obtener cualquiuer n´mero es de 1/6. Para la u segunda definici´n, el prosedimiento es lanzar el dado n veces y observar en cuantas ocaciones o aparece un mismo resultado, degamos el 4, la frecuencia relativa o ratio se calcula al dividir el n´mero de veces que seobserv´ el 4 entre el total n, entre m´s grande sea n el ratio tiende a u o a estabilizarse. Aunque las dos definiciones parecen distintas, resultan ser equivalentes ya que se llega al mismo resultado. Lamentablemente ambas teor´ tienen defectos importantes ya que no esıas tan definidas con claridad. El trato moderno de la teor´ de la probabilidad es axiom´tico, a ıa a travez de la teor´ de conjuntos. Enconcreto lo que se hace es asignar de forma arbitraria las ıa probabilidades a todos los suceso de un experimento para obtener un modelo matem´tico, salvo a algunas restricciones dadas por los axiomas. Este modelo ser´ confiable en la medida en que las a probabilidades asignadas coincidan con los l´ ımites de las frecuencias relativas.

1.

Espacio muestral y suceso.

Al conjunto S de...
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