Estadística Inferencial

Universidad de Chile
Economía & Negocios

Jueves 11 de Agosto del 2011

Estadística II
Semestre Primavera 2011, Ayudantía no presencial Profesor: Pablo Tapia Ayudante: Claudio Arriagada Pregunta 1 Suponga que la distribución inicial de un parámetro  es una distribución gamma cuya media es 10 y la varianza es 5. Determinar la función de distribución inicial de  . Respuesta Se tiene que lafunción de distribución inicial gamma corresponde a:

   1        e  

E     1

V      2

Por lo tanto, para los valores descritos en el enunciado tenemos:

E    1  10; V     2  5    20;   2 Por lo tanto, la función de distribución inicial solicitada es:
2 20 19  2  e 20  Observación: Es importante señalar que la función gammaevaluada en un número entero, es siempre igual al factorial del número entero por el cual se está evaluando, por lo tanto, la expresión anterior se puede escribir como: 2 20 19 2      e 20!

   

Pregunta 2 Suponga que posee una muestra media  desconocida, y suponga que el estimador de Bayes final, E  , es:
ˆ  
* B

X i T1 i

independiente e idénticamente distribuidade
n

2 A  B i 1 X i

A  nB Demuestre si este estimador es insesgado y de no serlo, demuestre que el sesgo es asintótico. Por otro lado, suponga que la varianza de la población donde fue extraída la muestra es igual a A y en base a esto demuestre que la varianza del estimador es asintótica, ˆ* es decir, lim V  B  0
n 

 

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Respuesta Utilizando la prueba de insesgamiento, vemos que
 2 A  B n X i  2 A  B n E  X i  2 A  Bn  i 1 i 1 ˆ E   E    A  nB A  nB A  nB   El estimador es sesgado y su sesgo corresponde a: 2 A  Bn    A  nB  A2    ˆ* Sesgo  E  B     A  nB A  nB El cual cumple con: A2    lim Sesgo  lim 0 n  n   A  nB Por lo tanto,es asintótico, lo que significa, que al aumentar nuestra muestra, nuestro estimador se acercará al valor poblacional. Con respecto a la varianza se tiene que:

 
* B

 

ˆ V

 
* B

 2 A  B n X i i 1 V  A  nB 

 B 2 n V  X i  B 2 nA  i 1    A  nB2  A  nB2 
L 'H

Tal que

B2 A 0 n  n  A  nB 2 n 2 B A  nB  Donde, la varianza resulta serasintótica también. Mientras menor sea el valor asignado a la varianza poblacional, con respecto a la creencia inicial, menor será el tamaño del sesgo. ˆ* lim V  B  lim  lim

 

B 2 nA

Pregunta 3 Suponga que X i i 1 constituye una muestra aleatoria de una distribución cuya función de
T

distribución f x   es la siguiente:

x  1 para 0 x1 f x     en otro caso 0Suponga además que el valor del parámetro  es desconocido   0 y que la distribución inicial de  es una distribución gamma con parámetros  y    0 y   0 . Determinar la media y varianza de la distribución final de  .

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Respuesta Se tiene que

x  1 f x     0

para 0  x  1 en otro casoPor lo tanto, la función de distribución conjunta es: T xi  1 para 0  xi  1 i  1,..., n  f x     i 1 0 en otro caso  Además, la función de distribución inicial es:





   
Dado que se indica   0

   1    e  

 Donde g x  representa la probabilidad marginal de la muestra, y si consideramos los elementos
constantes, la función anterior lapodemos representar como:

 f x        x     g x 



T i 1

xi

 1



 g x 

   1    e  

  x   k  T i 1 xi 1   1e  
T







Ahora, si utilizamos las propiedades de los exponentes, podemos reescribir esta ecuación como:

  x   k  T 
 

 x 
T i 1 I

 1

  1e   

Por otra parte,...