Estadistica Inferencial

UNIDAD I
DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO
1.1. Introducción a la Estadística Inferencial
1.2. Muestreo: Introducción al muestreo y tipos de muestreo
1.3.
Teorema del Límite central

Teorema 1. “El TLC nos asegura que si X es una variable aleatoria con media µ y varianza σ2 finita, entonces para un tamaño de muestra n lo suficientemente grande, ladistribución de Xalcanza una regularidad estadística que es aproximadamente normal, con media µ y varianza σ2n, es decir:
X≈Nμ, σn”.

NOTAS:
* Entre mayor sea el tamaño de la muestra n, más aproximada está la distribución del estadístico X a la distribución normal.
* Un tamaño de muestra lo suficientemente grande se presenta cuando hay una coincidencia mínima de cuatro cifras decimales entre lasprobabilidades del modelo y su aproximación.
* Para el caso de variables aleatorias continuas con varianza finita, un tamaño de n = 30 se considera lo suficientemente grande.
* La gran importancia del TLC reside en que, a través de su aplicación, puede hacerse inferencia estadística de una enorme cantidad de procesos naturales y sociales.
Si aplicamos el proceso de estandarización, a laformula Z= X- μσ se convierte en Z= X- μσn
Porque en lugar de la variable aleatoria X ahora se tiene el estadístico de la media muestral X y, por consiguiente, el parámetro σ ha sido sustituido por el correspondienteσn
EJEMPLO: Una empacadora de camarón exporta toda pieza que pese como mínimo 35 g. Para decidir a qué precio compra el camarón pescado por una cooperativa, se seleccionan 50camarones al azar, pesándolos uno por uno: si la media de la muestra es mayor que 33 g, la empacadora compra la mercancía al precio establecido para la exportación; de no ser así lo paga al precio del mercado nacional. ¿Cuál es la probabilidad de que les paguen el precio del mercado nacional si en realidad la media del peso de los camarones es µ = 35 g y σ = 6 g?

SOLUCION:
Se desconoce cómo sedistribuye la población original; sin embargo, al tener una muestra suficientemente grande de tamaño n = 50, concluimos por el TLC que el estadístico X se distribuye aproximadamente en forma normal.
Se pide la probabilidad P (X< 33), sabiendo que μX= µ=35 y σX= σn= 650 ; por lo tanto:
PX<33=PX-μσn<33- μσn=PZ<33-35650=PZ< -2.35=0.5-0.4906=0.0096

1.4. Distribucionesfundamentales para el muestreo.
Las inferencias estadísticas suelen basarse en las estadísticas, esto es, en variables aleatorias que son funciones de un conjunto de variables aleatorias X1, X2, ……, Xn, que constituyen una muestra aleatoria. Ejemplos de lo que significa “estadísticas” son la media de la muestra y la varianza de la muestra.
X= i=1nXin se llama media de la muestra
σ2=i=1nXi-X2n-1se llama varianza de la muestra

1.5.1. Distribución muestral de la media.
Teorema 2: Si X1, X2,……….Xn constituyen una muestra aleatoria de una población infinita con la media µ y la varianza σ2, entonces
EX=μ y varX=σ2n
Puesto que las estadísticas son variables aleatorias, sus valores variarán de muestra a muestra, y es costumbre referirse a sus distribuciones comodistribuciones de muestreo.

Se acostumbra escribir EX como μX y varX como σX2 y referirse a σX como el error estándar de la media. La fórmula para el error estándar de la mediaσX=σn , muestra que la desviación estándar de la distribución de X disminuye cuando n(tamaño de muestra), aumenta. Esto significa que cuando n se vuelve mayor y en realidad tenemos más información, podemos esperar valores de X máscercanos a µ, la cantidad que se proponen estimar. Podemos expresar esto formalmente de la siguiente manera:

Teorema 3: Para cualquier constante positiva c, la probabilidad de que asumirá un valor entre μ-c y μ+c es cuando menos
1-σ2nc2
Cuando n→∞, esa probabilidad se aproxima 1

NOTA: Algunas veces, el Teorema del Limite Central se interpreta incorrectamente como si implicara que la...