Estadistica Inferencial

Distribucion Normal y Binomial

1.

Distribución Binomial o de Bernoulli:
La distribución binomio esta asociada a experimentos del siguiente tipo:    Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. La probabilidadde obtener exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión

Veámoslo con un ejemplo Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´umero de cincos que obtenemos. ¿Cual es la probabilidad de obtener tres cincos?. Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro exito?. Evidentemente, sacar un 5, que es en lo quenos fijamos. El fracaso, por tanto, ser´a no sacar 5, sino sacar cualquier otro numero. Por tanto, Exito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒ p( E) = 1/6 Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p (F) = 5/6 Para calcular la probabilidad que nos piden, fijemonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 exitos y 4 fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?. Podrıamos sacar 3cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF Pero tambien podrıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuantas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 exitos. Recordando las tecnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 exitos. Recordandolas t´ecnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos

Y por tanto, como p(E) = 1/6 y tengo 3 exitos y p(F) = 5/6

y tengo 4 fracasos:

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de éxito 1/6 la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresarıamos:

Como repetir este proceso serıabastante penoso en la mayorıa de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente formula que expresa la probabilidad de obtener cierto numero de exitos en una distribución binomial: Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parametros n y p, y lorepresentaremos por Bin (n;p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

Observar que las probabilidades de ´exito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra. Ejemplo: Antes tenıamos Bin , y queriamos calcular p(X=3) (obtener 3 exitos). Aplicando la formula:

Ejemplo: Supongamos que la probabilidad deque una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos. En este caso Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5. ´ Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5. Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2). Si aplicamos la formula es:

La elección de exito o fracaso es subjetiva y queda a elección de la personaque resuelve el problema, pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. En el caso concreto del ejemplo anterior, si: Exito = “tener hija”, como nos piden la probabilidad de que una familia con 6 hijos tenga 2 hijos, si el éxito es tener hija hemos de plantearnos cual es la probabilidad de tener 4 éxitos (4 hijas), es decir

2. Distribución Normal
Al estudiar aspectos tancotidianos como:         Caracteres morfológicos de individuos ( personas, animales, plantas) de una misma raza. como tallas, pesos, envergaduras, etc. Caracteres fisiologicos, como el efecto de una misma dosis de un farmaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociologicos, como el consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano. Caracteres psicologicos, como el...