Estadisticas 2

DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio maestral.
Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y, ... susvalores.
La v.a. puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de v.a.: discretas y continuas

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:
DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito oinfinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0, 1,2,3).
CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertosintervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.

Distribución de probabilidad discreta
Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posiblesvalores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.

Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
" k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " iguala 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)
" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10
" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5
La fórmula quedaría:

Luego,
P (x = 6) = 0,205
Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 vecesuna moneda.
Ejemplo 2:¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado 8 veces?
" k " (número de aciertos) toma el valor 4
" n" toma el valor 8
" p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)
La fórmula queda:

Luego,
P (x = 4) = 0,026

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA
Si la variable aleatoria es continua, hay infinitosvalores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cadapunto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad. Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica: ∀Α ( ) ( ) f x dx∫Ρ Χ∈Α = .
Es una distribución continuaporque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma...