Estimación Estadística

ESTIMACIÓ
ƒ Objectiu
j
de l’estimació estadística.
ƒ Propietats dels estimadors.
ƒ Estimació puntual.
ƒ Estimació per intervals.
ƒ Mètodes per construir estimadors.

ESTADÍSTICA II. Estimació

1

ESTIMACIÓ
ƒ Objectiu
j
de l’estimació estadística.
ƒ Propietats dels estimadors.
ƒ Estimació puntual.
ƒ Estimació per intervals.
ƒ Mètodes per construir estimadors.

ESTADÍSTICAII. Estimació / Criteris generals d’estimació

2

OBJECTIU DE L’ESTIMACIÓ ESTADÍSTICA
Aproximació ràpida al valor del paràmetre poblacional d’interès.
Eina de l’estimació estadística:
ESTADÍSTIC = ESTIMADOR
Utilització del nom segons l’ús que li donem:
ƒ ESTIMADOR: com a part de càlculs per inferir el paràmetre poblacional
ƒ ESTADÍSTIC: com a part de càlculs més elaborats que enspermetran
extraure conclusions sobre el paràmetre poblacional

ESTADÍSTICA II. Estimació / Objectiu de l’estimació estadística

3

ESTIMACIÓ
ƒ Objectiu
j
de l’estimació estadística.
ƒ Propietats dels estimadors.
ƒ Estimació puntual.
ƒ Estimació per intervals.
ƒ Mètodes per construir estimadors.

ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

4

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
ƒQualsevol inferència que es faci sobre la població es basa en estimadors
mostrals.
ƒ Quin és el millor estimador per un paràmetre?
ƒ Per obtenir bones estimacions dels paràmetres θ , els estimadors θˆ
haurien de complir certes propietats desitjables:
ƒ NO ESBIAIXATS
ƒ EFICIENTS
ƒ CONSISTENTS

ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

5

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
NOESBIAIXATS
ƒ Estimador θˆ no esbiaixat d’un paràmetre poblacional θ quan
E (θˆ) = θ

ƒ No significa que un determinat valor de θˆ sigui exactament el valor
correcte de θ
L’estimador
estimador θˆ estima en mitjana correctament el paràmetre poblacional θ
ƒ L
bi i t
θˆ1 no esbiaixat

θˆ

1

θˆ2
θ
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

θˆ2 esbiaixat

θˆ
6PROPIETATS DELS ESTIMADORS
NO ESBIAIXATS

ƒ Definirem el biaix com Biaix(θˆ) = E (θˆ) − θ
ƒ En el cas d’un estimador no esbiaixat Biaix(θˆ) = E (θˆ) − θ = θ − θ = 0

No esbiaixat

Esbiaixat

ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

7

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT

ƒ Estimador eficient (idea general): aquell estimador que en mitjana
comet el menor error enl’estimació
l estimació.
ƒ Si hi ha varis estimadors no esbiaixats d’un paràmetre,
ƒ l’estimador no esbiaixat que té menor variància és l’estimador
més eficient = estimador no esbiaixat de mínima variància.
ƒEs diu que θˆ1 és més eficient que θˆ2 si

Var (θˆ1 ) < Var (θˆ2 )

ƒ L’estimador més eficient és aquell que està més centrat al voltant de
la seva esperança.

ESTADÍSTICA II. Estimació /Propietats dels estimadors

8

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT
Suposem dos estimadors no esbiaixats, quin és el més eficient?
= no esbiaixat =

<

eficient

θˆ1
θˆ2

θˆ3

θ
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

θˆ
9

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT

ƒ No sempre es possible tenir un estimador no esbiaixat.
ƒ Si hi h
ha varis
i estimadorsti d
qualsevols
l
l d’un
d’ paràmetre,
à t
ƒ l’estimador més eficient és el de menor error quadràtic mig (EQM)
on

EQM (θˆ) = E (θˆ − θ )2 = V (θˆ) + B(θˆ)2

ƒ Es diu que

θˆ1

és més eficient que θˆ2 si EQM (θˆ1 ) < EQM (θˆ2 )

ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors

10

PROPIETATS DELS ESTIMADORS
CONSISTENT
ƒ Molts cops resulta difícil trobar estimadorseficients.
ƒ Observarem
Obser arem les propietats asimptòtiques
asimptòtiq es (a
(augmentant
gmentant la mida mostral)
mostral).
ƒ Estimador asimptòticament inesbiaixat: aquell estimador on el seu biaix
desapareix quan la mostra tendeix a infinit.

lim Biaix (θˆ) = 0

n →∞

ƒ Estimador consistent (idea general): aquell estimador on l’error quadràtic
mig (EQM) es fa zero quan la...