estrutura atomica

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA
CUÁNTICA
 Parte 1: Fundamentos matemáticos.
 Parte 2: Mecánica Cuántica
Cuántica.

1

Parte 1: FUNDAMENTOS
MATEMÁTICOS










Espacios vectoriales complejos de dimensión finita.
Operadores lineales. Representación matricial.
Proyectores.
Autovalores y autovectores.
Operador adjunto o hermítico conjugado.
Operador autoadjunto.Propiedades.
Operador inverso.
Operador unitario.
Espacio p
producto tensorial.
p

2

Repaso: Espacio euclídeo tridimensional E3.


v

OPERACIONES BÁSICAS
1) SUMA DE VECTORES



Dados v1  E 3 y v 2
D d
 
la SUMA v1  v 2  E 3

 E3

2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR


Dado r  R , y v  E 3

r v  E3

• COMBINACIONES LINEALES



r1v1  r2 v2  E3
3
v1

3) PRODUCTO ESCALAR




v2

 
 
v1  v2 | v1 || v2 | cos 
   
v1  v2  v2  v1 (conmutativo)



 
 
v1  (rv2  sv3 )  r v1  v2  s v1  v3 (linealidad )
  2
v  v | v |  0
 
   
| v1  v2 | v1  v1 v2  v2
(desig . Cauchy  Schwarz )
4

 
ei  e j   ij

BASE ORTONORMAL


v


e3


e2

e1





v r1e1  r2 e2  r3e3
 
siendo ri  v  ei





a  a 1 e1  a 2 e 2  a 3 e 3




b  b1 e1  b 2 e 2  b 3 e 3
 
a  b  a 1 b1  a 2 b 2  a 3 b 3 
 
a a 

3



i 1

ai

3

ab
i 1

i

i

2
5

ESPACIOS DE HILBERT
 Estudiaremos espacios vectoriales
lineales complejos de dimensión finita
(p
(para el desarrollo de la informacióncuántica).
 Los escalares son números complejos
complejos.
 Usaremos la notación “bra-ket” de Dirac.
“bra Cada vector estará representado por un
“ket”:
ket :



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SUMA DE VECTORES

 V

propiedades

 V

     

    V

 (    )  (   ) 

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

 V
propiedades

c  C número complejo

c(    )  c   c 

 c  V(c  d )   c   d 
(cd )   c(d  )

7

Dados  y 

PRODUCTO ESCALAR
(producto interno)

  C

Propiedades

    



skew symmetry

 (c   d  )  c    d   linealidad
   0 positividad
Norma de un vector

 



Vector normalizado (norma
unidad)=vector unitario

vector dual o " bra "

  




A cada   V     C
8

A partirde las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:

c   c   
Demostración:

c    c



 [c   ]  c  






 c  

DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
CAUCHY SCHWARZ

|   |2     
Ejercicio 1: demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es definido positivo, y
defínase elvector

  c  ; siendo c   

 

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INDEPENDENCIA LINEAL

1 ,.......,  m  V
c1 1  .....  cm  m  0  c1  c2  ...  cm  0
DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL = número máximo (n) de
vectores linealmente independientes
BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes
(conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como
combinación lineal delos vectores de la base.
BASE ORTONORMAL

1 ,  2 ,.......,  n
,
,
 i  j   ij ; i, j  1,2,....n
n

   ai  i
i 1

;

ai   i 

  a1 , a 2 ,.........., a n 

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Expresión del producto escalar y la norma a partir de las componentes.
n

n

   ai  i

y

i 1

n

   bi  i
i 1

    ai bi ;


 

i 1

n

| a
i 1

i|2

Demostración:





     ai  i    b j  j    ai b j  i  j  ai  b j  ij   ai  bi


i, j
i
 i
 j
 i, j

 

 

 ai ai 


i

| ai | 2

i

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OPERADORES LINEALES

Operador
ˆ
A  

linealidad
ˆ
ˆ
ˆ
A(a   b  )  a A   b A 

ˆ
A

operador identidad
operador nulo
p

I   

N  0

vector nulo...