Evariste Galois

Evariste Galois

Laura Povedano Álvarez

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Indice
1. Introducci´n
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2. Un paseo por la historia de las ecuaciones algebraicas

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3. Revolucionario y Matem´tico: Evariste Galois
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4. La teor´ de Galois
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4.1. Ecuaci´n general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2. Ecuaci´n general de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
o
4.3. Ecuaci´n general de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Ecuaci´n general de quinto grado: la gran inc´gnita.
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o

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”El ´lgebra es generosa: a menudo da m´s de lo que se le pide.”
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a
D’alambert

1.

Introducci´n
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Evariste Galois se nos presenta como un juvenil Quijote luchando en un combate imposible,perdido de antemano, contra los molinos de la ciencia oficial, representada por la
todopoderosa Academia de las Ciencias de Par´ (formada por una importante constelaci´n
ıs
o
de grandes matem´ticos, pero pagados de s´ mismos, que no le entienden y que tampoco
a
ı
hacen ning´n esfuerzo por tratar de hacerlo), contra la que arremete con todas las armas
u
a su alcance.

2.

Un paseo por lahistoria de las ecuaciones algebraicas

Desde la antig¨edad uno de los enigmas m´s tenazmente perseguido por los matem´ticos
u
a
a
es la resoluci´n de las ecuaciones algebraicas.
o
Dada una ecuaci´n algebraica de segundo grado de la forma ax2 + bx + c, es bien
o
conocido que sus soluciones pueden encontrarse mediante una expresi´n (ya conocida por
o
los babilonios) que involucra loscoeficientes a, b y c y operaciones con radicales, a saber,
√
−b ± b2 − 4ac
x=
.
2a
Durante la Edad Media se trat´ de encontrar f´rmulas semejantes a la anterior que
o
o
sirvieran para resolver ecuaciones algebraicas de grado 3 y superior. El primer resultado
positivo se atribuye a N. Fontana (m´s conocido como Tartaglia) y a G.Cardano, que
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utilizaron la f´rmula
o
x=

3

q
+
2p3 q 2
+
+
27
4

3

q
−
2

p3 q 2
+
27
4

para calcular las soluciones de x3 +px+q = 0 (puesto que la ecuaci´n y 3 +by 2 +cy+d = 0
o
b
3
puede reducirse a una del tipo x + px + q = 0 mediante el cambio de variable y = x − 3 ,
la ecuaci´n general de tercer grado queda resuelta).
o
3

Evariste Galois

Historia de las matem´ticas
a

Diez a˜os despu´s LudovicoFerrari public´ una f´rmula para resolver las ecuaciones
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e
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o
algebraicas de grado 4. La cosa marchaba, y los matem´ticos no tardaron en emprender
a
n
intentonas para resolver la ”ecuaci´n general”an x + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0, y
o
aqu´ se estrellaron todos. Algunos, m´s modestos, retrocedieron y se limitaron a la de
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a
quinto grado, pero tampoco hubo forma. ¿Ser´ laecuaci´n irresoluble? Esta pregunta
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o
plane´ mucho tiempo sobre la matem´tica.
o
a
Como consecuencia de esta b´squeda infructuosa el matem´tico Paolo Ruffini anunci´,
u
a
o
a comienzos del siglo XIX, la imposibilidad de encontrar una f´rmula para resolver estas
o
ecuaciones; su art´
ıculo, publicado en 1813, conten´ afirmaciones imprecisas. Hubo que
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esperar al advenimiento de ungenio como el noruego Niels Henrik Abel quien en 1823
public´ la demostraci´n de que las ecuaciones de quinto grado no pod´ resolverse medio
o
ıan
ante radicales, dicha demostraci´n conten´ afirmaciones precisas pero con demostraciones
o
ıa
vagas.
La forma en que Abel ’resolvi´’ el problema de la resoluci´n de la ecuaci´n general de
o
o
o
quinto grado demostrando su imposibilidad es laprimera vez en la historia que un problema
ten´ este final, y ser´ el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la
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ıa
indecibilidad del lenguaje aritm´tico, establecido por G¨del en 1931). Hasta ese momento
e
o
cuando un problema no se sab´ resolver se consideraba que es que no se segu´ el camino
ıa
ıa
apropiado o que no se ten´ los instrumentos necesarios para...