Examen FM2 2014 Resolt

`
FONAMENTS DE MATEMATIQUES
2 - Examen final
Departament d’Inform`atica, Matem`atica Aplicada i Estad´ıstica

10 de juny de 2014
UdG

Observacions: Contesta tots els exercicis de forma raonada. Elsresultats o afirmacions sense cap
justificaci´o o sense cap c`alcul no seran valorats. No es pot utilizar calculadora ni cap altre dispositiu
electr`onic.
Temps: 2.5 hores.

1. Considera la seg¨
uentxarxa de canonades on x1 , . . . , x5 s´on fluxos en litres per dia, i el sentit
de circulaci´o de l’aigua ´es l’indicat per les fletxes

(a) Troba el sistema d’equacions per a x1 , . . . , x5 obtinguta partir del balan¸c de fluxos a cada
node. Escriu-lo en forma matricial i discuteix de la manera m´es detallada possible de quin
tipus de sistema lineal es tracta. (1 punt)
(b) Resol el sistema.Quines restriccions han de complir els fluxos xi perqu`e la soluci´o sigui
compatible amb els sentits de circulaci´o indicats? (1 punt)

2. Els individus d’una poblaci´o es distribueixen entre dues zonesZ1 i Z2 de manera que, si un
any un individu es troba a Z1 , la probabilitat que l’any seg¨
uent vagi a Z2 ´es el triple de la
probabilitat d’anar de Z2 a Z1 d’un any per l’altre. D’acord amb aix`o,(a) Escriu la matriu de Markov associada a aquests moviments d’individus entre zones. Queda
completament determinada aquesta matriu? (0.25 punts)
(b) Troba la proporci´o entre el nombre d’individusque es troben a Z1 i el nombre dels que es
troben a Z2 quan ha passat un nombre prou gran d’anys. Quins resultats sobre comportament asimpt`otic de models matricials has utilitzat per deduir-la? (0.75punts)




2 1 −3
3. La matriu d’una transformaci´o lineal T : R3 → R3 ´es A =  1 0 −1 .
1 1 −2
(a) Troba els seus valors i vectors propis. (1 punt)
(b) Diagonaliza A i utilitza l’expressi´oobtinguda per calcular A99 i A100 . Quina conclusi´o en
treus sobre les pot`encies d’A? (0.5 punts)
(c) D´ona una base del N uc(T ) i una base de la Im(T ). (0.5 punts)

4. Considera el sistema de...