examen matematicas

Matem´ticas I
a

06-02-2012

Grado en

Apellidos y Nombre:

Grupo:

DNI:

1. (1 pts.) Dado el subespacio vectorial F =< (1, 0, −1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, −1, −2, 1) >
(a) Obtener la dimensi´n, unas ecuaciones impl´
o
ıcitas, unas ecuaciones param´tricas y una base de F .
e
(b) ¿Pertenece el vector (1,1,1,1) al subespacio F ?. Razonar la respuesta




4
0 0


2. (2ptos.) Dada la matriz A =  1 −1 1 
−1
5 3
(a) Calcular sus autovalores.
(b) Calcular una base del subespacio de autovectores asociado a cada autovalor.
(c) ¿Es diagonalizable la matriz A? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular la matriz de paso y
la matriz diagonal semejante a A
3. (1.5 pts.) Dada la forma cuadr´tica q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 − 2xy − 2yz:
a
(a) Obtener, si esposible, la expresi´n diagonal de Jacobi de q.
o
(b) Clasificar q sin restringir.
(c) Clasificar q restringida al subespacio E = {(x, y, z) ∈ I 3 / x + y = 0}.
R
(d) ¿Qu´ tienen en com´n la expresi´n diagonal de Jacobi y la expresi´n diagonal de autovalores de una
e
u
o
o
misma forma cuadr´tica?. Razona la respuesta.
a
4. ( 2 pts.) Dada la funci´n f (x, y, z) = Ln(x + y 2 + z 3 ).
o(a) Obtener el dominio de la funci´n f .
o
(b) Obtener el vector gradiente de f en un punto gen´rico.
e
(c) Determinar el dominio de definici´n del vector gradiente de f , y si es posible, el vector gradiente f en
o
los puntos (−2, −1, 0) y en (1, 1, −1).
(d) Obtener las siguientes derivadas parciales de segundo orden:

∂2f
∂2f
∂2f
(x, y, z),
(x, y, z) y
(x, y, z)
∂y 2
∂x∂z
∂z∂x5. (1.5 pto.)
(a) Calcular

x+5
dx
x2 + x − 2

(b) Enunciar la Regla de Barrow.
(c) Calcular, si es posible la integral de la funci´n f (x) =
o

x2

x+5
en los intervalos [-1,0] y [0,2].
+x−2

6. (2 pts.) Dado el recinto del plano D = {(x, y) ∈ I 2 / y ≥ x, y ≤ 1, x + y ≥ 0}:
R
(a) Calcular el ´rea del recinto D.
a
(b) Calcular

y cos x dx dy
D

Ser´ necesario paraaprobar el examen obtener un m´
a
ınimo de 1.5 puntos en el total de las preguntas 1,2 y 3;
un m´
ınimo de 0.75 en la pregunta 4 y un m´
ınimo de 1 punto en el total de las preguntas 5 y 6. Los alumnos que
no obtengan alguno de los m´
ınimos expuestos anteriormente obtendr´n una calificaci´n m´xima de 3 puntos.
a
o
a
Los alumnos que cumplan los m´
ınimos exigidos superar´n el examen si lacalificaci´n global obtenida es mayor
a
o
o igual a cinco puntos.

Matemáticas I  Grado de Administración y Dirección de Empresas  Examen de Febrero Curso 2011/12 
1) (1 punto)
Dado el subespacio vectorial 
, ,
,   ,    , , ,  ,    ,
,
,     
a) Obtener la dimensión, unas ecuaciones implícitas, unas ecuaciones paramétricas y una base de F. 
b)¿Pertenece el vector (1,1,1,1) al subespacio F?  Razonar  la respuesta. 
Solución:
Nos dan un sistema generador de F, por tanto para obtener una base tendremos que eliminar los vectores linealmente
dependientes:

1 0
0 1
1 1
1 0

¿

 

1
1
?   
2
1

1
0
1
1

   

0
1
1
0

1 0
0 1

0 

2

 
 
1
1
2
1

   
   

2  

 

     

 

 

 

     

 

 

1 0
    0 1
1 0

 

   

10
1

 

í :  

, ,

,

0
1
1

,

1
1
1

1
1
2

0
0

, , ,

Por lo que dim(F)=2.
Para calcular las ecuaciones paramétricas tengamos en cuenta que cualquier vector de F se podrá expresar como
combinación lineal de la base::
, , ,

  1,0, 1,1

  0,1,1,0

 

, ,

,

 

 
 

 

é

  

   

 

 

      ,  

 
 

 

Para calcular lasecuaciones implícitas, y dado que en las ecuaciones paramétricas tenemos que    

  

sustituyendo en las otras dos ecuaciones paramétricas tenemos que   

    

 

 
 

í

 

 

también podríamos haber calculado las ecuaciones implícitas de la siguiente forma:

1 0
0 1
1 1
1 0

El vector

, , ,

 

Matemáticas I GADE    
 

2 

 

 

1
0
1

0
1...