examenes2
Páginas: 420 (104929 palabras)
Publicado: 3 de febrero de 2016
Exámenes de álgebra y ecuaciones diferenciales
Jose Salvador Cánovas Peña
1 de marzo de 2008
2
Índice General
1 12—6—2000
7
2 27—6—2000
19
3 4—9—2000
29
4 29—11—2000
39
5 5—2—2001
49
6 2—6—2001
59
7 15—6—2001
71
8 4—9—2001
87
9 29—11—2001
99
10 4—2—2002
113
11 4—6—2002
125
12 14—6—2002
133
13 4—9—2002
145
14 3—2—2003
157
15 10—6—2003
169
16 11—7—2003
177
1716—9—2003
193
18 14—2—2004
209
19 3—6—2004
223
20 25—6—2004
239
3
4
ÍNDICE GENERAL
21 2—9—2004
253
22 4—2—2005
267
23 7—6—2005
281
24 26—6—2005
291
25 9—9—2005
311
26 16—2—2006
325
27 15—6—2006
337
28 10—7—2006
343
29 18—9—2006
357
30 1—2—2007
369
31 14—6—2007
383
32 25—6—2007
391
33 6—9—2007
407
34 16—2—2008
421
Previo
Estos ejercicios no han sido corregidosconvenientemente. Por ello, si encuentras algún error,
escríbeme y dímelo para poder depurar los errores.
5
6
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
12—6—2000
Enunciado
1. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales:
y2
+ 2yex + (y + ex )y 0 = 0. (2 puntos)
2
½ 2 00
x y + 2xy 0 + y = x,
(2 puntos)
(b)
y(1) = y 0 (1) = 0.
√
(c) x2 y 0 + xy + y = 0 (2 puntos)
⎧ 0
⎨ x = x + et
y 0= 2x + y − 2z (4 puntos)
(d)
⎩ 0
z = 3x + 2y + z.
(a)
2. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Construir una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos y con coeficientes
constantes que tenga por solución y(x) = c1 e3x + c2 xe3x , donde c1 y c2 son constantes
positivas. Determinar además el único problema de condiciones iniciales con x = 0
formado por la ecuaciónencontrada anteriormente que tiene por solución única y(x) =
xe3x . (4 puntos)
(b) Dado el siguiente circuito
7
8
CAPÍTULO 1. 12—6—2000
calcular la intensidad de corriente i(t) para los valores R1 = R2 = 2Ω, C = 1F ,
L = 1H, V (t) = sin t V , suponiendo que inicialmente el circuito estaba descargado
(i(0) = i0 (0) = 0). (6 puntos)
3. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Sea A ⊆R2 un abierto y sea f : A → R una función de clase C 1 . Consideremos el
problema de condiciones iniciales
½ 0
y = f (x, y),
(1.1)
y(x0 ) = y0 ,
donde (x0 , y0 ) ∈ A. Construir la ecuación integral asociada a dicho problema de condiciones iniciales y demostrar que toda solución continua de la ecuación integral es
solución de (1.1). (3 puntos)
(b) La población de medusas del Mar Menor varía demanera proporcional a la cantidad
de medusas que hay en ese momento. Si inicialmente la población de medusas era de
100000 individuos y al cabo de 2 años dicha población se triplicó, calcular la población
al cabo de 10 años. Calcular la población de medusas para cada instante de tiempo
t y calcula su límite cuando t → +∞. En virtud del resultado obtenido ¿te parece
acertado el modelo? ¿Qué pegas leencuentras? (4 puntos)
(c) Definir solución estable, asintóticamente estable y función de Lyapunov. (3 puntos)
9
Examen resuelto
Resolver:
y2
+ 2yex + (y + ex )y 0 = 0.
2
y2
+ 2yex y Q(x, y) = y + ex . Vemos que
2
Solución. Sean P (x, y) =
∂P
∂Q
(x, y) = y + 2ex 6= ex =
(x, y),
∂y
∂x
por lo que la ecuación no es exacta y hemos de buscar un factor integrante. Para ello escribimos
la ecuaciónμ(x, y)
∂P
∂μ
∂Q
∂μ
(x, y) + P (x, y) (x, y) = μ(x, y)
(x, y) + Q(x, y) (x, y)
∂y
∂y
∂x
∂x
que nos da
x
μ(x, y)(y + 2e ) +
µ
y2
+ 2yex
2
¶
∂μ
∂μ
(x, y) = μ(x, y)ex + (y + ex ) (x, y)
∂y
∂x
que simplificando nos queda
∂μ
μ(x, y)(y + e ) = (y + e ) (x, y) −
∂x
x
x
µ
y2
+ 2yex
2
¶
∂μ
(x, y),
∂y
y vemos que si μ sólo depende de x, tendríamos
μ(x) = μ0 (x)
que nos da como posible soluciónμ(x) = ex . Así vemos que la ecuación
y 2 ex
+ 2ye2x + (ex y + e2x )y 0 = 0
2
es exacta y por lo tanto existe f (x, y) tal que
∂f
y 2 ex
(x, y) =
+ 2ye2x ,
∂x
2
∂f
(x, y) = ex y + e2x .
∂y
Integrando en la primera igualdad obtenemos
¶
Z µ 2 x
y e
y 2 ex
2x
dx =
+ 2ye
+ ye2x + g(y)
f (x, y) =
2
2
y utilizando la segunda igualdad
ex y + e2x = yex + e2x + g0 (y),
10
CAPÍTULO 1. 12—6—2000
de...
Jose Salvador Cánovas Peña
1 de marzo de 2008
2
Índice General
1 12—6—2000
7
2 27—6—2000
19
3 4—9—2000
29
4 29—11—2000
39
5 5—2—2001
49
6 2—6—2001
59
7 15—6—2001
71
8 4—9—2001
87
9 29—11—2001
99
10 4—2—2002
113
11 4—6—2002
125
12 14—6—2002
133
13 4—9—2002
145
14 3—2—2003
157
15 10—6—2003
169
16 11—7—2003
177
1716—9—2003
193
18 14—2—2004
209
19 3—6—2004
223
20 25—6—2004
239
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ÍNDICE GENERAL
21 2—9—2004
253
22 4—2—2005
267
23 7—6—2005
281
24 26—6—2005
291
25 9—9—2005
311
26 16—2—2006
325
27 15—6—2006
337
28 10—7—2006
343
29 18—9—2006
357
30 1—2—2007
369
31 14—6—2007
383
32 25—6—2007
391
33 6—9—2007
407
34 16—2—2008
421
Previo
Estos ejercicios no han sido corregidosconvenientemente. Por ello, si encuentras algún error,
escríbeme y dímelo para poder depurar los errores.
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ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
12—6—2000
Enunciado
1. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales:
y2
+ 2yex + (y + ex )y 0 = 0. (2 puntos)
2
½ 2 00
x y + 2xy 0 + y = x,
(2 puntos)
(b)
y(1) = y 0 (1) = 0.
√
(c) x2 y 0 + xy + y = 0 (2 puntos)
⎧ 0
⎨ x = x + et
y 0= 2x + y − 2z (4 puntos)
(d)
⎩ 0
z = 3x + 2y + z.
(a)
2. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Construir una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos y con coeficientes
constantes que tenga por solución y(x) = c1 e3x + c2 xe3x , donde c1 y c2 son constantes
positivas. Determinar además el único problema de condiciones iniciales con x = 0
formado por la ecuaciónencontrada anteriormente que tiene por solución única y(x) =
xe3x . (4 puntos)
(b) Dado el siguiente circuito
7
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CAPÍTULO 1. 12—6—2000
calcular la intensidad de corriente i(t) para los valores R1 = R2 = 2Ω, C = 1F ,
L = 1H, V (t) = sin t V , suponiendo que inicialmente el circuito estaba descargado
(i(0) = i0 (0) = 0). (6 puntos)
3. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Sea A ⊆R2 un abierto y sea f : A → R una función de clase C 1 . Consideremos el
problema de condiciones iniciales
½ 0
y = f (x, y),
(1.1)
y(x0 ) = y0 ,
donde (x0 , y0 ) ∈ A. Construir la ecuación integral asociada a dicho problema de condiciones iniciales y demostrar que toda solución continua de la ecuación integral es
solución de (1.1). (3 puntos)
(b) La población de medusas del Mar Menor varía demanera proporcional a la cantidad
de medusas que hay en ese momento. Si inicialmente la población de medusas era de
100000 individuos y al cabo de 2 años dicha población se triplicó, calcular la población
al cabo de 10 años. Calcular la población de medusas para cada instante de tiempo
t y calcula su límite cuando t → +∞. En virtud del resultado obtenido ¿te parece
acertado el modelo? ¿Qué pegas leencuentras? (4 puntos)
(c) Definir solución estable, asintóticamente estable y función de Lyapunov. (3 puntos)
9
Examen resuelto
Resolver:
y2
+ 2yex + (y + ex )y 0 = 0.
2
y2
+ 2yex y Q(x, y) = y + ex . Vemos que
2
Solución. Sean P (x, y) =
∂P
∂Q
(x, y) = y + 2ex 6= ex =
(x, y),
∂y
∂x
por lo que la ecuación no es exacta y hemos de buscar un factor integrante. Para ello escribimos
la ecuaciónμ(x, y)
∂P
∂μ
∂Q
∂μ
(x, y) + P (x, y) (x, y) = μ(x, y)
(x, y) + Q(x, y) (x, y)
∂y
∂y
∂x
∂x
que nos da
x
μ(x, y)(y + 2e ) +
µ
y2
+ 2yex
2
¶
∂μ
∂μ
(x, y) = μ(x, y)ex + (y + ex ) (x, y)
∂y
∂x
que simplificando nos queda
∂μ
μ(x, y)(y + e ) = (y + e ) (x, y) −
∂x
x
x
µ
y2
+ 2yex
2
¶
∂μ
(x, y),
∂y
y vemos que si μ sólo depende de x, tendríamos
μ(x) = μ0 (x)
que nos da como posible soluciónμ(x) = ex . Así vemos que la ecuación
y 2 ex
+ 2ye2x + (ex y + e2x )y 0 = 0
2
es exacta y por lo tanto existe f (x, y) tal que
∂f
y 2 ex
(x, y) =
+ 2ye2x ,
∂x
2
∂f
(x, y) = ex y + e2x .
∂y
Integrando en la primera igualdad obtenemos
¶
Z µ 2 x
y e
y 2 ex
2x
dx =
+ 2ye
+ ye2x + g(y)
f (x, y) =
2
2
y utilizando la segunda igualdad
ex y + e2x = yex + e2x + g0 (y),
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CAPÍTULO 1. 12—6—2000
de...
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