Exercici resistencia de materials

Pràctica P03
Desplaçaments en estructures planes de barres
amb nusos articulats

Àrea de Mecànica de Medis Continus i Teoria d’Estructures
*
Departament d’Enginyeria Mecànica i de la Construcció Industrial
*
Universitat de Girona

P03 - Desplaçaments en estructures planes de barres amb nusos articulats

1. OBJECTIUS





Aplicar el concepte de diagrama de cos lliure iequilibri estàtic.
Càlcul de deformacions de barres sol·licitades axialment.
Càlcul de desplaçaments de nusos en estructures de barres articulades.
Introduir el concepte d’energia de deformació.

I. INTRODUCCIÓ TEÒRICA
I.1. Llei de Hooke
Una barra carregada axialment s’allarga si està sotmesa a tracció i s‘escurça si està
sotmesa a compressió. L’allargament  d’una barra prismàtica sotmesa auna càrrega de
tracció P es mostra a la figura 1. Si la càrrega P passa pel centroide de la secció, la
tensió normal uniforme  en seccions transversals llunyanes dels extrems es determina
segons l’expressió:



On:

P
A

(1)

A – àrea de la secció transversal (mm2).
P– càrrega axial aplicada a la barra prismàtica (N).
L


P

Figura 1: Allargament d’una barra prismàticasotmesa a tracció

Si es considera que el material utilitzat és homogeni, la deformació unitària () es pot
expressar com:




L

(2)

2

P03 - Desplaçaments en estructures planes de barres amb nusos articulats

On  és l’allargament de la barra (mm) i L la longitud inicial de la barra (mm).
Si a més es considera que el material emprat és elàstic lineal, és a dir, segueix la Lleide
Hooke, la tensió i la deformació unitària es relacionen segons l’expressió:

  E

(3)

On E és el mòdul elàstic o de Young (MPa = N/mm2). De la combinació de les
equacions (1-3) s’obté l’expressió:



PL
EA

(4)

El producte EA es la rigidesa axial de la barra. Com més elevada sigui aquesta rigidesa
menor serà l’allargament de la barra traccionada. L’equació (4) deduïdaper un element
sotmès a tracció també es pot aplicar a un element sotmès a compressió; en aquest cas 
representa l’escurçament de la barra.
D’acord amb l’equació (4), la càrrega P és proporcional a l’allargament La constant
k, anomenada rigidesaes defineix com la força requerida per produir un allargament
unitari. De la mateixa manera, la constant f, anomenada flexibilitat (o compliança),es
defineix com l’allargament produït per una càrrega de valor unitari.
P  k

(5)

  fP

(6)

En base a l’equació (4) es dedueix que la rigidesa (k) i flexibilitat (f) d’una barra
prismàtica es poden expressar com:
k

EA
L

(7)

f 

L
EA

(8)

essent la flexibilitat la inversa de la rigidesa.

3

P03 - Desplaçaments en estructures planes de barres amb nusosarticulats

I.2. Mètode geomètric pel càlcul de deformacions en entramats de barres
articulades a tracció/compressió
En aquest apartat es presenta el mètode geomètric per calcular les deformacions en
estructures de barres articulades.
Es suposa una estructura com la de la figura 2, formada per dues barres biarticulades
amb càrregues en un dels seus nusos, i en un sol pla. Les barres treballena tracció o a
compressió simple.
A

Barra 2



Barra 1

C

B
P
Figura 2: Estructura amb dues barres biarticulades amb càrrega P

Fent un tall a la barra 1 (AC) i a la barra 2 (BC) es determinen els esforços interns
normals NAC i NBC de cadascuna de les barres.
A
NAC

Barra 1

C

NBC



Barra 2



Barra 1
C

Barra 2

B
P

P

Figura 3: Tall a les barres1 i 2 per determinar N AC i NBC.

4

P03 - Desplaçaments en estructures planes de barres amb nusos articulats

Si NAC, NBC > 0 la barra estarà sotmesa a
tracció, si en canvi, NAC, NBC < 0 la barra
estarà sotmesa a compressió

FV  0) N AC  sin   P  0
FH  0) N AC  cos   N BC  0

Un cop deformada l’estructura podem suposar que la barra 1 s’allargarà una longitud 1
de C...