Exploraci N Matem Tica Pi

El origen de π
¿Qué es π?
La letra griega π representa la constante matemática cuyo valor es la razón
de la circunferencia (C) de un círculo a su diámetro (d):
π = C/d
Es un número irracional, lo que significa que no se puede expresar como
fracción, ni como decimal finito o periódico. También es un número
transcendente, lo que significa que no puede expresarse como una secuencia
finita deoperaciones algebraicas (potencias, raíces, sumas, etc.) en números
enteros. Su aproximación hasta 50 lugares decimales es:
3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399
375 10
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La letra griega π fue elegida por William Jones en 1707 ya que es la
primera letra de la palabra “perímetro” en griego: “περίμετροζ”.
Primera evidencia del uso de π
La primera evidencia del uso de unaaproximación para el valor de π, 22/7, se
encuentra en los diseños de las pirámides de Egipto. La Gran Pirámide, que
se construyó aproximadamente entre 2550-2500 a. C., tenía precisamente
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1760 codos alrededor de la base y una altura de 280 codos. Tomando el
valor de π como 22/7, podemos ver que la razón del perímetro de la base a la
altura es de 2π, es decir 1760/280 = 2*22/7. Se usaron proporcionessimilares incluso antes de esto, aproximadamente en el año 2600 a. C., para
la Pirámide de Meidum.
Primera evidencia escrita de π
El concepto de π y una aproximación de su valor eran conocidos entre los
antiguos egipcios, babilonios, hindúes y griegos. La primera aparición de π en
texto escrito data del año 1900 a. C., aproximadamente. Por ejemplo, los
babilonios utilizaban la aproximación 25/8 (=3,125) y los egipcios usaban 256/81
(= 3,16049…). En el libro hindú Shatapatha Brahmana
339/108 (= 3,138888…).

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, π se aproxima a

Arquímedes (287-212 a. C.) fue el primero en calcular π rigurosamente.
Calculó los perímetros de los polígonos interiores de un círculo de radio
conocido y los comparó con los perímetros de los polígonos exteriores (ver
diagrama). De esta forma, supo que el valor de πdebía estar entre estos dos
cálculos.
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Willaim Jones (1675-1749) era un matemático galés, amigo de Sir Isaac Newton y Sir Edmund Halley. Se convirtió
en miembro de la Royal Society (Academia Nacional de Ciencias del Reino Unido) en 1712 y luego se desempeñó
como su vicepresidente.
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Una unidad antigua de medición lineal, originariamente igual a la longitud del antebrazo desde la punta deldedo mayor hasta el codo, o aproximadamente de 17 a 22 pulgadas (de 43 a 56 centímetros).
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Texto en hindi que describe rituales védicos.

Figura 1: Método de Arquímedes para calcular π
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Archimedes_pi.svg
Podemos ilustrar este método al crear una hoja de cálculo. Si suponemos
que el radio del círculo es de 1 unidad y tomamos n como la cantidad de
lados delpolígono, el perímetro del polígono exterior es:
P(exterior) = n*2*tan(360°/(2n°))
Se calcula al construir triángulos isósceles con sus cúspides en el centro del
círculo y sus bases a los lados del polígono. Así, cada triángulo será igual a
2* tan(360°/(2n°)). El perímetro total del polígono es n veces la longitud de
cada lado.
Lamentablemente, el paquete de la hoja de cálculo de Excel requiere medirlos ángulos en radianes y no en grados. La relación entre radianes y grados
es:
360° = 2π radianes
Entonces, el medio ángulo en la cúspide de cada triángulo sería:
θ = (360/2n)*(2π/360) = π/n radianes
Parece que cerramos el círculo completo. En realidad, ¡no es posible utilizar
un valor de π cuando se intenta obtener su estimación!
Además, es importante mencionar que la trigonometría fuedescubierta por
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Hiparco, , que vivió desde aproximadamente el año 90 hasta el año 120
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a. C., y luego Ptolomeo trabajó en ella (90–168), por lo que Arquímedes no
pudo haber usado este método.
No obstante, avanzaré con este método para poder ilustrar el proceso de
convergencia de estimaciones. Como n tiende hacia el infinito, las dos
estimaciones diferentes convergerán hacia el mismo valor, lo que...