Exponenciales

Exponenciales y Logarítmos

7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Comenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar con
ecuaciones exponenciales. La necesidad de resolver ecuaciones exponenciales trae consigo hallar la
función inversa de la función exponencial y es donde toma sentidola función logaritmo.
Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones
logarítmicas
y situaciones problemáticas donde se encuentren involucradas ecuaciones tanto
exponenciales como logarítmicas.

Comencemos con la siguiente situación.
La esperanza de vida, aún en los países poco desarrollados, creció después de la Segunda
Guerra Mundial aunque adistinto ritmo. Este crecimiento, si bien al principio trajo mayor
actividad y progreso, a la larga ha producido graves problemas: falta de viviendas, escuelas,
puestos de trabajo.... El aumento de la población por la prolongación de la vida se ha visto
compensado en parte por el descenso de la natalidad en los países industrializados. De todos
modos, ha aparecido el problema del envejecimientode la población (es decir el aumento de la
edad promedio).
Analizaremos ahora algún modelo matemático que trata de describir la evolución de una
población.
En Europa occidental, durante los siglos XVII y XVIII, comenzó a descender el índice de
mortalidad, y el incremento poblacional en muchos países se situó entre 0.5 y 1% anual. Para
evitar complicaciones con los cálculos consideraremos queel crecimiento poblacional fue del 1%
anual durante los primeros 20 años de este siglo.
Supongamos que la cantidad de población europea al comienzo del siglo XVII (año 1.600 )
sea 10 (en cientos de millones). La función P(t ) medirá la cantidad de población en el tiempo t.
Como comenzaremos nuestro estudio a partir del año 1.600 este será el tiempo inicial, es decir,
t = 0.

Año

Tiempo t(años)

1600

t=0

1601

t=1

1602

t=2

1603
...

t=3
...

Población ( en cientos de
millones )
P (0) = 10
P (1) = 10 + 1% de 10
1
= 10 +
.10
100
= 10,1
P (2) = 10,1 + 1% de 10,1
= 10,1 + 0,01. 10,1
= 10,201
P (3) = ...
...

¿Podemos hallar una fórmula que nos permita calcular la población para cualquier valor de t ?
Para ello analizaremos lo que hemos hechohasta el momento en cada paso:
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Curso de Apoyo en Matemática
en t = 0,
en t = 1,

P (0) = 10
P (1) = 10 + 0,01.10 = 10 ( 1 + 0,01) = 10 .1,01 = P (0) . 1,01

en t = 2,

P (2) = P (1) + 0,01. P (1) = 10. 1,01 + 0,01. 10. 1,01 =
10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01)2

¿Podrás realizar el caso t = 3 ? (Ten en cuenta los pasos hechos en los casos t = 1 y t = 2)En general, la población después de t períodos será:
P (t ) = 10 (1.01)t
donde 10 es la población inicial P (0). Verifiquemos que la fórmula obtenida nos da, por ejemplo
para t = 2, P (2) = 10 . 1,012 = 10,201 que coincide con el valor de la tabla. Si queremos estimar
la población en el año 1610, será P (10) = 10. 1,0110 = 11046.
Observemos que...
en la fórmula P (t ) = 10 (1,01) t, el factor10 es la población inicial y la variable t
figura en el exponente. A este tipo de funciones se las llama exponenciales.

7.1

Función Exponencial

Desde “ejemplos” hasta la aparición de la definición, lo pondría como texto habitual, dado que son
comentarios no vinculados a la enunciación de definiciones, leyes, etc. Esto, a los efectos de ver la
coherencia gráfica.
Hasta ahora hemosestudiado potencias pertenecientes a
distintos campos numéricos:

Ejemplos:

•

potencias de exponente natural
an = 1.4243
a a . a .... a

n ∈ N,

n v eces

•

•

•

4-3 =

1

4

2

5

2

•

3

=2

potencias de exponente nulo
a0 = 1 ( a ≠ 0 ),
potencias de exponente entero negativo
1
a-n = n
n ∈ N , ( a ≠ 0 ),
a
potencias de exponente fraccionario...