Expresiones algebraicas fraccionarias

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma
A(x)B(x) donde A(x) y B(x) son polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.

Por ejemplo, 7x-2 esuna expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un polinomio y el denominador B(x) = x − 2 también es un polinomio.

También es una expresión algebraica racional x3-2x+√3x2+7x .¿Es x5+3x3x-3 una expresión algebraica racional?

La expresión x2 − 9 es también racional porque x2− 9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.

I. Simplificación deexpresiones racionales

Recordamos que, dado el racional 32 podemos hallar otros equivalentes con él: 23 = 46 = 1421 =... donde ab = a .nb .n con n ≠ 0.

Análogamente para la expresión racional A(x)B(x)pueden hallarse expresiones racionales equivalentes: A(x)B(x) = Ax. N(x)Bx.N(x) siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracciónequivalente más simple que una dada.

Por ejemplo:

77132 = 7.1122.3.11 = 712

También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes alnumerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.

Consideremos: x2-1x3+3x2-x-3.Factorizamos su numerador y su denominador:

x2-1 = (x+1) (x-1)

x3+3x2-x-3= x2(x+3)-(x+3) = (x+3)(x2-1) = (x+3)(x+1)(x-1)

Entonces: x2-1x3+3x2-x-3 = (x+1) (x-1)(x+3)(x+1)(x-1) = 1x+3 si x ≠ 1 y x ≠ −1

Las dos expresiones racionales, x2-1x3+3x2-x-3 y 1x+3 sonequivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero.

Veamos otrosejemplos:

1. 3x3-12xx2-4x+4 = 3x(x2-4)(x-2)2 = 3xx+2(x-2)x-2(x-2) = 3xx+2x-2 si x ≠ 2

2. x2+5x4-25 = x2+5x2+5(x2-5) =1x2-5 ∀ x ∈ R ¿Por qué esta expresión es válida para cualquier...
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